2北海道大学 2003年 数学 第2問解答・解説

まず、分母が0となる $z=\pm i$ は定義域から除く。$x,y$ を実数として $z=x+iy$ とおくと、 $$\displaystyle \frac{1}{z+i}+\frac{1}{z-i}=\frac{2z}{z^2+1},\qquad z^2+1=(x^2-y^2+1)+2xyi.$$ したがって $$\displaystyle \operatorname{Im}\frac{2z}{z^2+1} =\frac{2y(1-x^2-y^2)}{(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2}.$$ 許される $z$ では分母は正だから、この式が0となる条件は $y=0$ または $x^2+y^2=1$ である。円周上の $z=\pm i$ は元の式で定義されないので、 $$P\text{ は実軸全体と、2点 $i,-i$ を除いた単位円を合わせた図形である。}$$

実軸上の $z=x$（$x$ は実数） に対しては $$\displaystyle \left|\frac{x+i}{x-i}\right|=1,\qquad \frac{x+i}{x-i}\ne1.$$ 逆に $|w|=1,\ w\ne1$ とすると、$\displaystyle z=i\frac{w+1}{w-1}$ は $$\displaystyle \overline z=-i\frac{\overline w+1}{\overline w-1}=i\frac{w+1}{w-1}=z$$ を満たすので実数である。よって実軸からの像は単位円から $1$ を除いたもの。

次に、$|z|=1,\ z\ne\pm i$ ならば $$\displaystyle \overline w=\frac{\overline z-i}{\overline z+i}=\frac{1-iz}{1+iz}=-\frac{z+i}{z-i}=-w.$$ よって $w$ は純虚数であり、$z\ne-i$ だから $w\ne0$。逆に $w$ が0でない純虚数ならば、$\displaystyle z=i\frac{w+1}{w-1}$ とおくと $|z|=1$ である。また $w\ne0$ より $z\ne-i$ であり、有限の $w$ に対して $z=i$ とはならない。したがってこの円周部分からの像は、虚軸から原点を除いたもの。以上より $$W\text{ は点 $1$ を除いた単位円と、原点を除いた虚軸を合わせた図形である。}$$