北海道大学 2003年数学第3問解答・解説

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1問題

北海道大学2003年度第3問

曲線 $y = x^{2} (0 \leq x \leq 1)$ を y 軸のまわりに回転してできる形の容器に水を満た

す。この容器の底に排水口がある。時刻 t = 0 に排水口を開けて排水を開始する。時刻 t において容器に残っている水の深さを h，体積を V とする。V の変化率 $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ は $\displaystyle \frac{dV}{dt} = -\sqrt{h}$ で与えられる。

(1) 水深 h の変化率 $\displaystyle \frac{dh}{dt}$ を h を用いて表せ。

(2) 容器内の水を完全に排水するのにかかる時間 T を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{dh}{dt}=-\frac{1}{\pi\sqrt{h}}\quad(h>0),\qquad T=\frac{2\pi}{3}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

水面の高さを $y$ 、回転軸から水面までの半径を $r$ とすると、 $y=r^2$ より $r=\sqrt{y}$ である。高さ $y$ における断面積は $\pi r^2=\pi y$ だから、水深 $h$ までの水の体積は $\displaystyle V=\int_0^h \pi y\,dy=\frac{\pi h^2}{2}.$ したがって、連鎖律と与えられた体積の変化率から、 $h>0$ において $\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt}=\pi h\frac{dh}{dt}=-\sqrt{h},\qquad \frac{dh}{dt}=-\frac{1}{\pi\sqrt{h}}.$ 容器が満水のときの水深は $1$ である。排水にかかる時間は $\displaystyle T=\int_1^0 -\pi\sqrt{h}\,dh=\pi\int_0^1 h^{1/2}\,dh=\frac{2\pi}{3}.$

この問題で使う考え方

定積分
多項式関数の微分
合成関数の微分と連鎖律
定積分の性質と計算
定積分による体積

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