1浜松医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) 点 $P_1$ の媒介変数を $t_1$ とする。$$x'(t)=2\sqrt{3t},\qquad y'(t)=2$$ であるから、速さは $\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}=2\sqrt{3t+1}$ である。したがって原点から $P_1$ までの弧長は$$\displaystyle \int_0^{t_1}2\sqrt{3t+1}\,dt=\frac{4}{9}\left((3t_1+1)^{3/2}-1\right).$$ これが $28/9$ なので、$(3t_1+1)^{3/2}=8$。$t_1\geq0$ より $3t_1+1>0$ であり、両辺を $2/3$ 乗して $3t_1+1=4$、よって $t_1=1$ である。ゆえに $x_1=4/\sqrt{3}$、$y_1=2$。確認すると、$t_1=1$ の弧長は $\displaystyle \frac{4}{9}(8-1)=28/9$ となる。

(2) 接線の傾きは有限なので $t_2>0$ である。このとき$$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2}{2\sqrt{3t}}=\frac{1}{\sqrt{3t}}.$$ これが $1/3$ であるから、$\sqrt{3t_2}=3$、$t_2=3$。したがって $\displaystyle x_2=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot3^{3/2}=12$、$y_2=6$ である。実際、$t_2=3$ を傾きの式に代入すると $1/3$ となる。

(3) $y=2t$ は増加し、$y_1=2$、$y_2=6$ である。$y$ 軸から曲線までの距離を $x$ とすると、$t=y/2$ より$$\displaystyle x^2=\left(\frac{4}{\sqrt{3}}\left(\frac{y}{2}\right)^{3/2}\right)^2=\frac{2}{3}y^3.$$ よって円板法により、回転体の体積は$$\displaystyle V=\pi\int_2^6x^2\,dy=\frac{2\pi}{3}\left[\frac{y^4}{4}\right]_2^6=\frac{\pi}{6}(6^4-2^4)=\frac{640\pi}{3}.$$ 別に媒介変数 $t$ で計算しても、$\displaystyle V=\pi\int_1^3x(t)^2y'(t)\,dt=\frac{32\pi}{3}\int_1^3t^3\,dt=\frac{640\pi}{3}$ となり一致する。