3浜松医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $F_0(x)=e^x-1$、$\displaystyle F_n(x)=e^x-\displaystyle\sum\limits _{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\ (n\ge1)$ とおく。指数関数は増加関数であるから、$x\ge0$ では $F_0(x)=e^x-1\ge0$ である。また、$n\ge1$ について $$\displaystyle F_n'(x)=e^x-\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=F_{n-1}(x),\qquad F_n(0)=0.$$ $F_{n-1}(x)\ge0$ がすべての $x\ge0$ で成り立つと仮定すると、$F_n'(x)\ge0$ なので $F_n$ は $x\geq0$ の範囲で増加し、$F_n(x)\ge F_n(0)=0$ となる。よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ と $x\ge0$ について所要の不等式が成り立つ。

(2) 円の中心を $O$、正12角形の隣り合う頂点を $A,B$、辺 $AB$ の中点を $M$ とする。中心角は $30^\circ$ であり、接点への半径は接線に垂直だから $OM=1$、$\angle AOM=15^\circ$ である。したがって $$AM=OM\tan15^\circ=\tan15^\circ,\qquad AB=2\tan15^\circ.$$ 加法定理より $$\displaystyle \tan15^\circ=\tan(45^\circ-30^\circ)=\frac{1-1/\sqrt3}{1+1/\sqrt3}=2-\sqrt3.$$ 正12角形は、底辺が $AB$、高さが $OM=1$ の三角形12個に分けられるので、その面積は $$\displaystyle 12\cdot\frac12\,AB\cdot1=12\tan15^\circ=24-12\sqrt3.$$

(3) 半径1の円はこの正12角形の内部にあるから、円の面積より $$\pi<24-12\sqrt3.$$ また、(1) で $x=1,n=3$ とすると $$\displaystyle e\ge1+1+\frac12+\frac16=\frac83.$$ よって、$\sqrt3>1.73$ を用いて $$\displaystyle \pi-e<24-12\sqrt3-\frac83=\frac{64}{3}-12\sqrt3<\frac{64}{3}-12\cdot1.73=\frac{43}{75}<\frac35.$$ したがって $\displaystyle \pi-e<\dfrac35$ である。