4浜松医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

次の問題。

問題

表面と裏面が出る確率がそれぞれ $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ であるコインを投げる試行を繰り返し，同じ面が3回連続して出た時点で試行を終了する。$n$ 回投げ終えた段階で試行が終了する確率 $p_n$ を求めよ。

に対する右の答案Aについて以下の問いに答えよ。

(1) もし答案Aに誤りがあれば誤りを指摘し，その理由を述べよ。ただし，すでに指摘してある誤った結論から論理的に導き出された結論を誤りとして指摘する必要はない。誤りがないときは「誤りなし」と答えよ。

(2) 答案Aで導かれた $p_n$ と正解の $p_n$ とで値が異なるとき，値が異なる最小の $n$ を求め，その $n$ に対する正解の $p_n$ の値を答えよ。そのような $n$ がないときは「すべて一致する」と答えよ。

答案A

自然数 $n$ に対して，コインを $n$ 回投げ終えた段階で，その後最短で試行が終了するために必要な回数が $k$ 回 $(k\geq0)$ である確率を $p_n(k)$ とする。このとき，$k$ は $0,1,2$ のいずれかであるから，確率の総和は$$p_n(0)+p_n(1)+p_n(2)=1$$である。また，$$\displaystyle p_n(0)=p_n,\qquad p_{n+1}(0)=\dfrac{1}{2}p_n(1),\qquad p_{n+2}(0)=\dfrac{1}{4}p_n(2)$$であるから漸化式$$p_n+2p_{n+1}+4p_{n+2}=1\qquad(n\geq1)$$を得る。ここで，$\displaystyle \dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{7}=1$ なので，$\displaystyle q_n=2^n\left(p_n-\dfrac{1}{7}\right)$ とすれば$$q_n+q_{n+1}+q_{n+2}=0$$である。よって $n\geq4$ に対して$$q_n=-q_{n-1}-q_{n-2}=(q_{n-2}+q_{n-3})-q_{n-2}=q_{n-3}$$が成立する。以上より，$$Q(n)=\begin{cases}q_1 & (n\text{を3で割ったときの余りが1のとき}),\\q_2 & (n\text{を3で割ったときの余りが2のとき}),\\q_3 & (n\text{が3で割り切れるとき})\end{cases}$$とすれば求める確率は$$\displaystyle p_n=\dfrac{q_n}{2^n}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{Q(n)}{2^n}+\dfrac{1}{7}\qquad(n\geq4)$$である。また，最初の2項は定義より $p_1=p_2=0$ であり，$p_n$ の漸化式で $n=1$ とすれば $p_1+2p_2+4p_3=1$ であるから $\displaystyle p_3=\dfrac{1}{4}$ である。さらに$$\displaystyle q_1=-\dfrac{2}{7},\qquad q_2=-\dfrac{4}{7},\qquad q_3=\dfrac{6}{7}$$である。したがって$$\displaystyle p_1=p_2=0,\qquad p_3=\dfrac{1}{4},\qquad p_n=\dfrac{Q(n)}{2^n}+\dfrac{1}{7}\qquad(n\geq4)$$となる。