4金沢医科大学 2024年 1日目 数学 第4問解答・解説

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点 $D(2,1)$ が①上にあるから $$2=1-a+b,\qquad b=a+1.$$ また②上にあるから $1=4/(2+c)$、従って $c=2$。 ①を $x=x(y)$ と見ると、Dにおける接線方向ベクトルは $(2-a,1)$。②の傾きは $$\displaystyle y'=-\frac{c+6}{(x+c)^2}$$ なのでDで $-1/2$、その接線方向ベクトルは $(1,-1/2)$。 直交条件より $$(2-a,1)\cdot(1,-1/2)=0,$$ したがって $a=3/2,\ b=5/2,\ c=2$。 ①を平方完成すると $$\displaystyle \left(y-\frac a2\right)^2=x-\left(b-\frac{a^2}{4}\right).$$ 標準形 $(y-k)^2=4p(x-h)$ と比べて $h=31/16,\ k=3/4,\ p=1/4$ だから $$\displaystyle F=\left(\frac{35}{16},\frac34\right).$$ よって $$\displaystyle [ODF]=\frac12\left|2\cdot\frac34-1\cdot\frac{35}{16}\right| =\frac{11}{32}.$$ ②のDでの接線③は $$\displaystyle y-1=-\frac12(x-2),\qquad y=-\frac12x+2.$$ ①を $x$ の式で書くと $\displaystyle x=y^2-\frac32y+\frac52$。③は $x=4-2y$ だから交点は $$\displaystyle y^2+\frac12y-\frac32=0 \quad\text{すなわち}\quad (y-1)(2y+3)=0.$$ 従って交点の $y$ 座標は $-3/2,1$。その間では③の $x$ が ①の $x$ より大きいので、囲まれた面積は $$\displaystyle \int_{-3/2}^{1}\left\{(4-2y)- \left(y^2-\frac32y+\frac52\right)\right\}dy =\int_{-3/2}^{1}\left(\frac32-\frac12y-y^2\right)dy =\frac{125}{48}.$$ 最後に②は $y=(6-x)/(x+2)$。$0\le x\le2$ では ②が③より上、両方ともx軸より上にある。回転断面は外半径が②、 内半径が③の円環であるから $$\displaystyle \frac{V}{\pi}=\int_0^2 \left\{\left(\frac{6-x}{x+2}\right)^2- \left(2-\frac{x}{2}\right)^2\right\}dx.$$ $u=x+2$ と置くと $$\displaystyle \frac{V}{\pi}=\int_2^4 \left(\frac{64}{u^2}-\frac{16}{u}-8+3u-\frac{u^2}{4}\right)du =\left[-\frac{64}{u}-16\log u-8u+\frac32u^2-\frac{u^3}{12}\right]_2^4 =\frac{40}{3}-16\log_e2.$$ 従って空欄は $$\boxed{\begin{aligned} &\text{け}=3,\text{こ}=2,\text{さ}=5,\text{し}=2,\text{す}=2,\\ &\text{せそ}=11,\text{たち}=32,\text{つ}=1,\text{て}=2,\text{と}=2,\\ &\text{なにぬ}=125,\text{ねの}=48,\text{まみ}=40,\text{む}=3,\\ &\text{めも}=16,\text{や}=2. \end{aligned}}$$