2金沢医科大学 2024年 1日目 数学 第2問解答・解説

①と②の傾きはそれぞれ $1/3,-1/2$ だから $$\displaystyle \tan\theta_1= \left|\frac{-1/2-1/3}{1+(1/3)(-1/2)}\right|=1, \qquad \theta_1=45^\circ.$$ 交点 $A$ は連立して $A=(0,2)$。②上の $B=(x,2-x/2)$ とおくと $$\displaystyle AB^2=x^2+\frac{x^2}{4}=20,$$ ゆえに $x=\pm4$。Bを通る①に平行な直線の切片は $$\displaystyle 2-\frac{x}{2}-\frac{x}{3}=2-\frac{5x}{6}.$$ これが負なので $x=4$ を選び、$B=(4,0)$、③は $y=x/3-4/3$ である。 $k>4$ とし、 $$D=(k,k/3+2),\qquad C=(k,k/3-4/3).$$ ①と③は平行で、距離は $$\displaystyle \frac{|6-(-4)|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=\sqrt{10}.$$ また $AD=k\sqrt{10}/3$、$BC=(k-4)\sqrt{10}/3$ である。 よって四角形は平行な辺 $AD,BC$ をもつ台形であり $$\displaystyle [ABCD]=\frac{AD+BC}{2}\sqrt{10} =\frac{10k-20}{3}=\frac{40}{3}.$$ 従って $k=6$、$C=(6,2/3)$、$D=(6,4)$。 三角形 $ABD$ の底辺を $AD$ とする。$B$ は①と平行な③上にあるので、高さは2直線間の距離 $\sqrt{10}$ である。 また、三角形 $BCD$ は縦の辺 $CD$ を底辺とすれば、高さは $6-4=2$ である。よって $$\displaystyle [ABD]=\frac12\cdot\frac{6\sqrt{10}}3\cdot\sqrt{10}=10,$$ $$\displaystyle [BCD]=\frac12\cdot\frac{10}{3}\cdot2=\frac{10}{3}.$$ したがって $[ABD]:[BCD]=3:1$。 最後に $$\overrightarrow{AC}=(6,-4/3)\parallel(9,-2),\qquad \overrightarrow{BD}=(2,4)\parallel(1,2).$$ 方向ベクトル $(9,-2)$、$(1,2)$ の内積は $9-4=5>0$、長さの積は $\sqrt{85}\sqrt5=5\sqrt{17}$ である。指定された角は $0^\circ\le\theta_2\le90^\circ$ だから $$\displaystyle \cos\theta_2=\frac{5}{5\sqrt{17}}=\frac1{\sqrt{17}}.$$ したがって $\sin\theta_2\ge0$ に注意して $$\displaystyle \sin\theta_2=\sqrt{1-\cos^2\theta_2} =\sqrt{\frac{16}{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}.$$ 空欄は次のとおりである。 $$\begin{aligned} &\text{ツテ}=45,\quad\text{ト}=4,\quad\text{ナ}=0,\quad\text{ニ}=6,\\ &\text{ヌ}=2,\quad\text{ネ}=3,\quad\text{ノ}=4,\quad\text{ハ}=3,\\ &\text{ヒ}=1,\quad\text{フ}=4,\quad\text{ヘホ}=17,\quad\text{マミ}=17. \end{aligned}$$