4東京医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) $x=-2,1$ で $x$ 軸に接するので、$f(-2)=f'(-2)=f(1)=f'(1)=0$ である。したがって $(x+2)^2$ と $(x-1)^2$ が因数となる。$f$ は最高次の係数が1である4次多項式なので $$f(x)=(x+2)^2(x-1)^2=(x^2+x-2)^2=x^4+2x^3-3x^2-4x+4.$$ よって $a=2,\ b=-3,\ c=-4,\ d=4$。

(2) $u=x-1$ とおくと積分範囲は $-3\le u\le0$、$x+2=u+3$ だから、 $$\displaystyle \int_{-2}^{1}(x+2)(x-1)^7\,dx =\int_{-3}^{0}(u+3)u^7\,du =\left[\frac{u^9}{9}+\frac{3u^8}{8}\right]_{-3}^{0} =-\frac{2187}{8}.$$

(3) $F(x)=(x+2)^{p+1}(x-1)^{q+1}$ とおく。$p,q$ は正の整数なので $F(-2)=F(1)=0$ であり、積の微分から $$F'(x)=(p+1)(x+2)^p(x-1)^{q+1}+(q+1)(x+2)^{p+1}(x-1)^q.$$ これを $-2$ から $1$ まで積分すると $$\displaystyle 0=(p+1)\int_{-2}^{1}(x+2)^p(x-1)^{q+1}\,dx+(q+1)\int_{-2}^{1}(x+2)^{p+1}(x-1)^q\,dx.$$ したがって後者の積分は前者の $\displaystyle -\frac{p+1}{q+1}$ 倍である。解答群では $\text{ス}=-(p+1)$、$\text{セ}=q+1$、すなわち⑤、⑥を選ぶ。

(4) (1) より $f(x)=(x+2)^2(x-1)^2\ge0$ で、囲まれた部分は $-2\le x\le1$ にある。$x$ 軸のまわりの回転体の体積は $$\displaystyle V=\pi\int_{-2}^{1}f(x)^2\,dx=\pi\int_{-2}^{1}(x+2)^4(x-1)^4\,dx.$$ $t=(x+2)/3$ とおくと $x+2=3t,\ x-1=-3(1-t),\ dx=3dt$ より $$\displaystyle \int_{-2}^{1}(x+2)^4(x-1)^4\,dx=3^9\int_0^1t^4(1-t)^4\,dt.$$ ここで $\displaystyle I_{m,n}=\int_0^1t^m(1-t)^n\,dt$ とおく。$m\ge1$ に対して $t^m(1-t)^{n+1}$ の導関数を積分すると、端点でこの式が0になるので $$\displaystyle I_{m,n}=\frac{m}{n+1}I_{m-1,n+1}.$$ これを4回用い、$I_{0,8}=1/9$ を使えば $$\displaystyle I_{4,4}=\frac45\cdot\frac36\cdot\frac27\cdot\frac18\cdot\frac19=\frac1{630}.$$ したがって $$\displaystyle V=\pi\frac{3^9}{630}=\frac{2187}{70}\pi.$$