5北海道大学 2003年 数学 第5問解答・解説

正n角形を転がすと、最初の回転では頂点 B を支点とし、その後は次の頂点を順に支点として回転する。辺が次の辺に移るごとの回転角は正n角形の外角 $$\displaystyle \delta=\frac{2\pi}{n}.$$ 点Aが再びx軸に着くまでの支点を、Aから辺に沿ってk個先の頂点 $P_k$（$k=1,2,\ldots,n-1$）とする。外接円の半径は1なので、Aと $P_k$ の中心角は $2k\pi/n$、弦の長さは $$\displaystyle AP_k=2\sin\frac{k\pi}{n}.$$ 支点 $P_k$ のまわりの回転中、Aは半径 $AP_k$、中心角 $\delta$ の円弧を描く。円弧の長さを足すと $$\displaystyle L(n)=\frac{2\pi}{n}\sum\limits _{k=1}^{n-1}2\sin\frac{k\pi}{n}.$$ $\theta=\pi/n$ とおくと、加法定理より $$\displaystyle 2\sin\frac{\theta}{2}\sin(k\theta) =\cos\left(k\theta-\frac{\theta}{2}\right)-\cos\left(k\theta+\frac{\theta}{2}\right).$$ これを $k=1,\ldots,n-1$ で足すと隣り合う項が消え、 $$\displaystyle 2\sin\frac{\theta}{2}\sum\limits _{k=1}^{n-1}\sin(k\theta) =\cos\frac{\theta}{2}-\cos\left(\pi-\frac{\theta}{2}\right) =2\cos\frac{\theta}{2}.$$ したがって $$\displaystyle L(n)=\frac{4\pi}{n}\cot\frac{\pi}{2n}.$$

(1) $\tan$$\displaystyle \frac{\pi}{12}$=$\tan$$\displaystyle \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)$=2-$\sqrt3$ より $\cot$$\displaystyle \frac{\pi}{12}$=2+$\sqrt3$ なので、 $$\displaystyle L(6)=\frac{2\pi}{3}(2+\sqrt3).$$

(2) t=$\displaystyle \frac{\pi}{2n}$ とおくと t$\to$0 であり、 $$\displaystyle L(n)=8t\cot t=8\frac{\cos t}{\sin t/t}\longrightarrow8$$ となる。よって $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}L(n)=8$。