3筑波大学 2004年 数学 第3問解答・解説

$f'(x)>0$ ($x>0$) と連続性から $0\le x_1<x_2$ ならば $f(x_1)<f(x_2)$ が成り立ち、$f(0)=0$ である。

(1) x軸回転体は半径 $f(x)$ の円板を積み重ねたものなので $$\displaystyle X(t)=\pi\int_0^t f(x)^2\,dx,$$ 従って微積分の基本定理より $X'(t)=\pi f(t)^2$。 次に $g=f^{-1}$ とする。y軸回転体を高さ $y$ の円板で切ると、その半径は $g(y)$ であるから $$\displaystyle Y(t)=\pi\int_0^{f(t)}g(y)^2\,dy.$$ 微積分の基本定理と合成関数の微分より $$Y'(t)=\pi g(f(t))^2f'(t)=\pi t^2f'(t)\qquad(t>0).$$

(2) $X(t)=Y(t)$ が全ての $t\ge0$ で成り立つので、(1)から $$f(t)^2=t^2f'(t)\qquad(t>0).$$ $f$ は零多項式ではなく、$f(0)=0$ より次数 $n\ge1$ の多項式である。左辺の次数は $2n$、右辺の次数は $n+1$ である。両辺は正の全ての $t$ で等しい多項式なので $2n=n+1$、従って $n=1$。よって $f(x)=cx$ とおける。上の関係から $c^2=c$ であり、$f'(x)=c>0$ より $c=1$。従って $f(x)=x$ ($x\ge0$)。

(3) $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x}$ ならば $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}$ であり、$f(x)^2=x^2f'(x)$。従って (1) より $X'(t)=Y'(t)$ ($t>0$)。また $X(0)=Y(0)=0$ で両関数は $0$ まで連続なので、差 $X(t)-Y(t)$ は定数0である。ゆえに $X(t)=Y(t)$ ($t\ge0$)。