筑波大学 2004年数学第1問解答・解説

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1問題

筑波大学2004年度第1問

関数 $f(x)$ を

$\displaystyle f (x) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {\log | x |}{x} & (| x | > 1) \\ a x ^ {3} + b x ^ {2} + c x + d & (| x | \leq 1) \end{array} \right.$

と定める。ただし, $a, b, c, d$ は定数とし, $f(x)$ は $x = \pm 1$ において微分可能とする。なお, $\log$ は $e = 2.718\cdots$ を底とする自然対数である。

(1) a, b, c, d の値を求めよ。

(2) $f(x)$ の最大値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) (a,b,c,d)=(1/2,0,−1/2,0)$ 。 (2) 最大値は1/e、 $x=e$ で達成。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解説

(1) 係数を求める

境界 (x=1,-1) では、外側の式の値はどちらも 0、導関数はどちらも 1 です。微分可能であるには内側の三次式も同じ値・導関数を持つ必要があるため、4つの一次方程式が得られます。これを解くと (a=1/2,b=0,c=-1/2,d=0) です。

(2) 最大値

$-1\leq x\leq1$ の範囲の式 ((x^3-x)/2) は、導関数が 0 となる点と端点で値を比較します。最大値は (1/(3 $\sqrt3$ )) です。左側の外部 (x<-1) は関数値が負です。右側 (x>1) では導関数の符号が (x=e) で正から負へ変わるので、最大値は (1/e)。問題文にある (e=2.718 $\cdots$ <3<3 $\sqrt3$ ) から、これは内側の最大値より大きいと分かります。

この問題で使う考え方

対数関数のグラフ・増減
多項式の導関数
極大・極小
商の微分
合成関数の微分
指数・対数関数の微分

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