筑波大学 2004年数学第2問解答・解説

微分法積分法

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1問題

筑波大学2004年度第2問

$f(x)=\sin^{3}x$ とする。

(1) $f'(0)$ および $f'(2\pi)$ を求めよ。

(2) $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x) dx$ を求めよ。

(3) $p(x)$ を x の 2 次式とするとき, $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} p(x) f''(x) dx = 0$ を示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\quad f'(0)=f'(2\pi)=0.$
$\displaystyle (2)\quad \int_0^{2\pi}\sin^3x\,dx=0.$
$\displaystyle (3)\quad \int_0^{2\pi}p(x)f''(x)\,dx=0.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $f'(x)=3\sin^2x\cos x$ だから、 $f'(0)=0,\qquad f'(2\pi)=0.$

(2) $\sin(x+\pi)=-\sin x$ より、変数を $u=x-\pi$ として $\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^3x\,dx =\int_0^\pi\sin^3x\,dx+\int_0^\pi\sin^3(u+\pi)\,du =\int_0^\pi\sin^3x\,dx-\int_0^\pi\sin^3u\,du =0.$

(3) $p(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ とする。部分積分を2回行うと $\displaystyle \int_0^{2\pi}p(x)f''(x)\,dx =\left[p(x)f'(x)\right]_0^{2\pi} -\left[p'(x)f(x)\right]_0^{2\pi} +\int_0^{2\pi}p''(x)f(x)\,dx.$ $f(0)=f(2\pi)=0$ かつ(1)より $f'(0)=f'(2\pi)=0$ なので、境界項はともに0。さらに $p''(x)=2\alpha$ であるから、(2)を用いて $\displaystyle \int_0^{2\pi}p(x)f''(x)\,dx =2\alpha\int_0^{2\pi}f(x)\,dx=0.$

この問題で使う考え方

合成関数の微分
三角関数の微分
不定積分・定積分の性質
部分積分法

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