7筑波大学 2004年 数学 第7問解答・解説

（1）入力された3値を現在の値として保持し、同時代入によって更新前の値から次の3項を計算する。

import sys

A, B, C = map(float, sys.stdin.read().split())
a, b, c = A, B, C
print(0, a, b, c)
for n in range(1, 21):
    a, b, c = (b + c) / 2, (c + a) / 2, (a + b) / 2
    print(n, a, b, c)

（2）漸化式を加えると、$$\displaystyle a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=\frac{(b_n+c_n)+(c_n+a_n)+(a_n+b_n)}2=a_n+b_n+c_n.$$ 初項の和は $A+B+C$ なので、すべての $n\ge0$ で $a_n+b_n+c_n=A+B+C$ である。 （3）$x_n=2a_n-b_n-c_n$ とおくと、$$\displaystyle \begin{aligned} x_{n+1}&=(b_n+c_n)-\frac{(c_n+a_n)+(a_n+b_n)}2\\ &=\frac{b_n+c_n-2a_n}{2}=-\frac12 x_n. \end{aligned}$$ $x_0=2A-B-C$ より、$$\displaystyle 2a_n-b_n-c_n=x_n=\left(-\frac12\right)^n(2A-B-C).$$ （4）和の関係から $x_n=3a_n-(A+B+C)$ である。したがって$$\displaystyle a_n=\frac{A+B+C+\left(-\frac12\right)^n(2A-B-C)}3.$$ $\displaystyle \left(-\frac12\right)^n\to0$ より、$$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}a_n=\frac{A+B+C}{3}}.$$

固定取得manifestの同一相対PDFパス・実PDF SHA一致（line 790、筑波大2004医学専門学群医前期）。PDF p.9と旧解説を照合。和の不変量・差の漸化式・コードのn=0から20までの出力を確認。