2京都大学 2007年 数学 第2問解答・解説

漸化式を繰り返し用いると、$n\ge2$ に対して $$\displaystyle a_n=x^{n-2}y^2+x^{n-3}y^3+\cdots+xy^{n-1}+y^n = y^2\frac{x^{n-1}-y^{n-1}}{x-y}$$ となる。ここでは $x\ne y$ を用いて等比数列の和をまとめた。

まず、各項は正である。もし $y>1$ なら $a_n\ge y^n\to\infty$ であり、もし $x>1$ なら $a_n\ge x^{n-2}y^2\to\infty$ である。したがって有限値に収束するには $x\le1$ かつ $y\le1$ が必要である。

逆に $0<x<1$、$0<y<1$ なら $x\ne y$ より上の式から $a_n\to0$ となる。また、$x=1$、$0<y<1$ のときは $$\displaystyle a_n=y^2\frac{1-y^{n-1}}{1-y}\longrightarrow\frac{y^2}{1-y},$$ $0<x<1$、$y=1$ のときは $$\displaystyle a_n=\frac{x^{n-1}-1}{x-1}\longrightarrow\frac1{1-x}.$$ $x=y=1$ は初めの条件 $x\ne y$ に反する。よって求める範囲は $$\boxed{0<x\le1,\qquad 0<y\le1,\qquad x\ne y}.$$

図では、第1象限の単位正方形の内部のうち直線 $y=x$ を除いた部分を表す。座標軸は $x,y>0$ により除き、上辺 $y=1$ と右辺 $x=1$ は共通端点 $(1,1)$ を除いて含む。点線は除外する直線である。