6京都大学 2007年 数学 第6問解答・解説

(1) 関数等式で $b=-a$ とおく。分母は仮定により $0$ でないから、 $$\displaystyle 0=f(0)=\frac{f(a)+f(-a)}{1+f(a)f(-a)}$$ より $f(-a)=-f(a)$ である。また、同じ仮定を $b=-a$ に適用すると $$1+f(a)f(-a)=1-f(a)^2\ne 0$$ なので、$f(a)\ne 1,-1$ である。

$f$ は微分可能だから連続である。もしある $a$ で $f(a)>1$ なら、$f(0)=0$ と中間値の定理から、$0$ と $a$ の間に $f(c)=1$ となる $c$ がある。これは $f(c)\ne1$ に反する。同様に $f(a)<-1$ なら $f(c)=-1$ となる $c$ が生じて矛盾する。したがって任意の実数 $a$ について $$-1<f(a)<1$$ である。

(2) $a$ を固定して関数等式を $b$ で微分し、$b=0$ とする。商の微分と $f(0)=0,\ f'(0)=1$ より $$\displaystyle \begin{aligned} f'(a) &=\left.\frac{f'(b)(1+f(a)f(b))-(f(a)+f(b))f(a)f'(b)}{(1+f(a)f(b))^2}\right|_{b=0}\\ &=1-f(a)^2. \end{aligned}$$ (1)から $1-f(a)^2>0$ なので $f'(a)>0$ はすべての実数 $a$ で成り立つ。よって $f$ は増加し、$x>0$ なら $f(x)>f(0)=0$ である。さらに上の等式を微分すると $$f''(x)=-2f(x)f'(x)=-2f(x)(1-f(x)^2)<0\qquad(x>0).$$ したがって $x>0$ でグラフ $y=f(x)$ は上に凸である。