II鳥取大学 2020年 数学 第II問解答・解説

(1) 奇関数の条件に $x=0$ を代入すると $f(0)=-f(0)$ だから、$f(0)=0$.

(2) $f(-x)=-f(x)$ の両辺を $x$ で微分すると $$-f'(-x)=-f'(x)$$ となる。よって $f'(-x)=f'(x)$ であり、$f'$ は偶関数である。

(3) $\displaystyle a=\dfrac{u+v}{2}$、$\displaystyle b=\dfrac{u-v}{2}$ とおくと、$u=a+b$、$v=a-b$ である。与えられた関係と (2)、および $f(-b)=-f(b)$ より $$\begin{aligned} f'(u)&=f'(a+b)=f'(a)f'(b)-f(a)f(b),\\ f'(v)&=f'(a-b)=f'(a)f'(-b)-f(a)f(-b)\\ &=f'(a)f'(b)+f(a)f(b). \end{aligned}$$ したがって、2式の差をとれば $$\displaystyle f'(u)-f'(v)=-2f(a)f(b) =-2f\left(\frac{u+v}{2}\right)f\left(\frac{u-v}{2}\right)$$ を得る。

(4) (3)で $u=x+h$、$v=x$ とおくと、$h\ne0$ に対して $$\displaystyle \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} =-2f\left(x+\frac h2\right)\frac{f(h/2)}{h}.$$ $f$ は微分可能なので $x$ で連続であり、 $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}f\left(x+\frac h2\right)=f(x).$$ また、$f(0)=0$、$f'(0)=1$ より $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{f(h/2)}{h} =\frac12\lim\limits _{h\to0}\frac{f(h/2)-f(0)}{h/2} =\frac12 f'(0)=\frac12.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{f'(x+h)-f'(x)}{h} =-2f(x)\cdot\frac12=-f(x).$$ この極限は任意の実数 $x$ で存在するから、$f'$ は微分可能であり、$f''(x)=-f(x)$ である。