10東邦大学 2022年 数学 第10問解答・解説

東邦大学 2022年度 第10問

問題ID: MM-988468583aaf-Q10

$$\displaystyle g'(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2>0$$ であり、$g(x)\to\infty$（$x\to\infty$）、$g(x)\to-\infty$（$x\to-\infty$）。従って $g$ は実数全体から実数全体への単調増加関数で、逆関数 $f$ は実数全体で定義される。$g(f(x))=x$ を微分すると $$\displaystyle \frac{e^{f(x)}+e^{-f(x)}}2\,f'(x)=1.$$ また $g(f(x))=x$ なので $$(e^{f(x)}+e^{-f(x)})^2 =(e^{f(x)}-e^{-f(x)})^2+4 =4x^2+4.$$ 左辺の平方根は正だから $$\displaystyle f'(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2}}.$$ 特に $$\displaystyle f'(2)=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

最小の定数 $a$

$$\displaystyle f''(x)=-\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.$$ $u=|x|\geq0$ とおいて $$\displaystyle h(u)=\frac{u}{(1+u^2)^{3/2}}$$ を考えると $$\displaystyle h'(u)=\frac{1-2u^2}{(1+u^2)^{5/2}}.$$ 従って $h$ は $0\leq u\leq1/\sqrt2$ で増加し、その後減少する。$h(0)=0$、$u\to\infty$ で $h(u)\to0$ より最大値は $$\displaystyle h\left(\frac1{\sqrt2}\right) =\frac{1/\sqrt2}{(3/2)^{3/2}} =\frac{2}{3\sqrt3} =\frac{2\sqrt3}{9}.$$ よって $|f''(x)|\leq 2\sqrt3/9$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。平均値の定理から任意の $y,z$ について $$\displaystyle |f'(y)-f'(z)|\leq\frac{2\sqrt3}{9}|y-z|.$$ 一方、与えられた不等式が定数 $a$ で成り立つなら、$z\to y$ とすることで $|f''(y)|\leq a$ がすべての $y$ で必要となる。$y=1/\sqrt2$ では $|f''(y)|=2\sqrt3/9$ なので、これより小さい定数では不等式は成立しない。従って最小値は $a=2\sqrt3/9$。

最終答案

$$\displaystyle \boxed{f'(2)=\frac{\sqrt5}{5},\qquad a_{\min}=\frac{2\sqrt3}{9}}$$

使用解法

逆関数の関係式を微分して導関数を求め、二階導関数の絶対値の最大値と平均値の定理から与えられた不等式を満たす定数aの最小値を求めた。

issues

なし。