3東邦大学 2022年 数学 第3問解答・解説

東邦大学 2022年度 第3問

問題ID: MM-988468583aaf-Q3

まず $$\displaystyle \begin{aligned} J=\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx &=\int_0^1(1-u)\sqrt u\,du\qquad(u=1-x)\\ &=\left[\frac23u^{3/2}-\frac25u^{5/2}\right]_0^1 =\frac23-\frac25=\frac4{15}. \end{aligned}$$ 従って $\text{サ}=4,\ \text{シス}=15$。

次に $$\displaystyle I=\int_0^1 f(t)\,dt$$ とおく。問題の関係式を $x$ について $0$ から $1$ まで積分すると $$\displaystyle I=\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx+I\int_0^1x^2\,dx =\frac4{15}+\frac13I.$$ ゆえに $\displaystyle \frac23I=\frac4{15}$、従って $\displaystyle I=\frac25$。

最終答案

$$\displaystyle \boxed{\int_0^1x\sqrt{1-x}\,dx=\frac4{15},\qquad \int_0^1f(t)\,dt=\frac25}$$

使用解法

置換積分 $u=1-x$ で既知積分を求め、関数の積分を未知数 $I$ とおいて与式を積分した。

issues

なし。