8千葉大学 2022年 数学 第8問解答・解説

$t=nx$ と置換すると、$x=t/n,\ dx=dt/n$ より $$\displaystyle A(m,n)=(m+1)\int_0^1t^m e^{-t/n}\,dt.$$ $0\le t\le1$ では $e^{-1/n}\le e^{-t/n}\le1$ であり、$(m+1)t^m\ge0$ だから、定積分の大小関係より $$\displaystyle e^{-1/n}(m+1)\int_0^1t^m\,dt\le A(m,n)\le(m+1)\int_0^1t^m\,dt.$$ ここで $\displaystyle (m+1)\int_0^1t^m\,dt=1$ なので、(1) が示された。

(2) $m$ を固定して $n\to\infty$ とすると、$e^{-1/n}\to1$。よって (1) の両端がともに1に収束するから、はさみうちにより $b_m=1$。

(3) $n$ を固定する。(1) の変形から $A(m,n)\ge e^{-1/n}$。任意の $0<r<1$ について積分を $0\le t\le r$ と $r\le t\le1$ の範囲に分けると、$e^{-t/n}-e^{-1/n}\le1-e^{-1/n}$（$0\le t\le r$）、および $e^{-t/n}-e^{-1/n}\le e^{-r/n}-e^{-1/n}$（$r\le t\le1$）である。したがって $$0\le A(m,n)-e^{-1/n}\le r^{m+1}(1-e^{-1/n})+(1-r^{m+1})(e^{-r/n}-e^{-1/n}).$$ まず $m\to\infty$ とすると $r^{m+1}\to0$ なので、差は $e^{-r/n}-e^{-1/n}$ よりいくらでも小さい正の量だけ大きい値で上から抑えられる。次に $r\to1$ とすればこの上界は0に収束する。したがって $c_n=e^{-1/n}$。