6千葉大学 2022年 数学 第6問解答・解説

解答

$\overrightarrow{OA}=(1,0,-1)$, $\overrightarrow{OB}=(0,5,0)$ より、直線 $\ell$ 上の点を $Q=(u,5,-u)$ と表せる。

(1) $P=(a,a^2,0)$ なので、$\overrightarrow{PQ}=(u-a,5-a^2,-u)$。垂直条件を成分の内積で表すと $$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{PQ} =(1,0,-1)\cdot(u-a,5-a^2,-u) =2u-a=0.$$ よって $$\displaystyle \boxed{Q=\left(\frac a2,5,-\frac a2\right)}.$$

(2) $R=(r,r^2,0)$, $S=(s,5,-s)$ とおく。距離の二乗を座標で計算し平方完成すると $$\displaystyle |RS|^2=(r-s)^2+(r^2-5)^2+s^2 =2\left(s-\frac r2\right)^2+\frac{r^2}{2}+(r^2-5)^2.$$ $z=r^2\ge0$ とすれば $$\displaystyle \frac{r^2}{2}+(r^2-5)^2 =\frac z2+(z-5)^2 =\left(z-\frac{19}{4}\right)^2+\frac{39}{16}.$$ 従って最小値は $|RS|^2=39/16$。等号成立条件は $s=r/2$ および $r^2=19/4$ だから、組は次の2つである。 $$\displaystyle \boxed{ (R,S)=\left(\left(\frac{\sqrt{19}}2,\frac{19}{4},0\right), \left(\frac{\sqrt{19}}4,5,-\frac{\sqrt{19}}4\right)\right), \quad \left(\left(-\frac{\sqrt{19}}2,\frac{19}{4},0\right), \left(-\frac{\sqrt{19}}4,5,\frac{\sqrt{19}}4\right)\right) }$$ 最小距離は $\boxed{\sqrt{39}/4}$。