4京都大学 2022年 数学 第4問解答・解説

点 $B$ を原点とし、$\overrightarrow{BA}=\mathbf u$、$\overrightarrow{BC}=\mathbf v$、$\overrightarrow{BO}=\mathbf w$ とおく。条件より $|\mathbf u|=|\mathbf v|=|\mathbf w|=3$ である。三角形の辺の長さから内積を求めると $$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf u\cdot\mathbf v&=\frac{|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2-|\mathbf u-\mathbf v|^2}{2} =\frac{9+9-(2\sqrt3)^2}{2}=3,\\ \mathbf v\cdot\mathbf w&=\frac{|\mathbf v|^2+|\mathbf w|^2-|\mathbf v-\mathbf w|^2}{2} =\frac{9+9-(2\sqrt3)^2}{2}=3,\\ \mathbf u\cdot\mathbf w&=\frac{|\mathbf u|^2+|\mathbf w|^2-|\mathbf u-\mathbf w|^2}{2} =\frac{9+9-4^2}{2}=1. \end{aligned}$$ ここで $|\mathbf u-\mathbf v|=AC$、$|\mathbf v-\mathbf w|=OC$、$|\mathbf u-\mathbf w|=OA$ を用いた。

(1) $P$ は辺 $BC$ 上にあるから、ある $t$（$0\le t\le1$）を用いて $\overrightarrow{BP}=t\mathbf v$ と表せる。三角形 $OAP$ の重心 $G$ について $$\displaystyle \overrightarrow{BG}=\frac{\mathbf w+\mathbf u+t\mathbf v}{3},\qquad \overrightarrow{PG}=\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BP}=\frac{\mathbf u+\mathbf w-2t\mathbf v}{3}, \qquad \overrightarrow{OA}=\mathbf u-\mathbf w.$$ したがって $$\begin{aligned} 3\,\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{OA} &=(\mathbf u+\mathbf w-2t\mathbf v)\cdot(\mathbf u-\mathbf w)\\ &=|\mathbf u|^2-|\mathbf w|^2-2t(\mathbf v\cdot\mathbf u-\mathbf v\cdot\mathbf w)\\ &=9-9-2t(3-3)=0. \end{aligned}$$ よって $\overrightarrow{PG}\perp\overrightarrow{OA}$。

(2) 同じ内積を用いて長さの2乗を計算すると $$\displaystyle \begin{aligned} 9PG^2&=|\mathbf u+\mathbf w-2t\mathbf v|^2\\ &=|\mathbf u|^2+|\mathbf w|^2+2\mathbf u\cdot\mathbf w -4t(\mathbf u\cdot\mathbf v+\mathbf w\cdot\mathbf v)+4t^2|\mathbf v|^2\\ &=20-24t+36t^2=16+36\left(t-\frac13\right)^2. \end{aligned}$$ $0\le t\le1$ の範囲に $t=1/3$ が含まれるため、最小値はそこで実現する。したがって $$\displaystyle PG^2_{\min}=\frac{16}{9},\qquad PG_{\min}=\frac43.$$