6京都大学 2022年 数学 第6問解答・解説

単元・方法・テーマ

数学B「数列」と数学II「三角関数」：候補 $\displaystyle z_n=y_n+\frac{n(n-1)}2$ を置き、$z_n$ の3で割った余りから余弦項を確かめて帰納法で示す。テーマは三角関数を含む漸化式と周期的な剰余。

解答

$$\displaystyle x_n-y_n=\frac{n(n-1)}2\qquad(n=1,2,3,\ldots).$$

証明

$$\displaystyle T_n=\frac{n(n-1)}2,\qquad z_n=y_n+T_n$$ とおく。$x_1=0$、$y_1=0$、$T_1=0$ だから $x_1=z_1$ である。次に、$z_n$ の3で割った余りを調べる。

$n=3m+1$ なら $$\displaystyle z_n=3m+\frac{3m(3m+1)}2$$ は3の倍数である（$m(3m+1)$ は偶数）。$n=3m+2$ なら $$\displaystyle \frac{(3m+1)(3m+2)}2 =1+\frac{9m(m+1)}2\equiv1\pmod3$$ であるため、$\displaystyle z_n=3m+2+\frac{(3m+1)(3m+2)}2$ は3の倍数である。ここでは $m(m+1)$ が偶数であることを用いた。$n=3m+3$ なら $$\displaystyle \frac{(3m+2)(3m+3)}2 =3\frac{(3m+2)(m+1)}2$$ は3の倍数である（$(3m+2)(m+1)$ は偶数）から、$\displaystyle z_n=3m+4+\frac{(3m+2)(3m+3)}2\equiv1\pmod3$ となる。

従って $$\displaystyle 2\cos\left(\frac{2\pi z_n}{3}\right)= \begin{cases} 2,&n=3m+1\ \text{または}\ 3m+2,\\ -1,&n=3m+3. \end{cases}$$ 一方、定義から $$y_{n+1}-y_n= \begin{cases} 2,&n=3m+1\ \text{または}\ 3m+2,\\ -1,&n=3m+3. \end{cases}$$ よって $2\cos(2\pi z_n/3)=y_{n+1}-y_n$ である。$T_{n+1}-T_n=n$ だから $$\displaystyle z_{n+1}=z_n+n+2\cos\left(\frac{2\pi z_n}{3}\right).$$ $x_n=z_n$ と仮定すれば、与えられた漸化式より $$\displaystyle x_{n+1}=x_n+n+2\cos\left(\frac{2\pi x_n}{3}\right) =z_n+n+2\cos\left(\frac{2\pi z_n}{3}\right)=z_{n+1}.$$ 初項で一致し、帰納段階でも一致するので、すべての $n\ge1$ で $x_n=z_n$。従って $$\displaystyle x_n-y_n=T_n=\frac{n(n-1)}2.$$ 最初の数項では $x_1-y_1=0,\ x_2-y_2=1,\ x_3-y_3=3$ となり、式とも一致する。