3京都大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$x=n^2$ とおくと、次の2つの等式が成り立つ。 $$n^4+2=(n^2-2)(n^2+2)+6,$$ $$n^6+2=(n^4-2n^2+4)(n^2+2)-6.$$ したがって、$n^2+2$ と $n^4+2$ の両方を割る整数は $6$ も割る。また、$n^2+2$ と $6$ の両方を割る整数は上の第1式から $n^4+2$ を割り、第2式から $n^6+2$ も割る。よって $$A_n=\gcd(n^2+2,6).$$

$n$ を6で割った余りごとに $n^2+2$ を調べると、 $$\begin{array}{c|rrrrrr} n\bmod6&0&1&2&3&4&5\\\hline n^2+2\bmod6&2&3&0&5&0&3\\ \gcd(n^2+2,6)&2&3&6&1&6&3 \end{array}$$ である。したがって $$A_n=\begin{cases} 2&(n\equiv0\pmod6),\\ 3&(n\equiv1,5\pmod6),\\ 6&(n\equiv2,4\pmod6),\\ 1&(n\equiv3\pmod6). \end{cases}$$