1京都大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(30点) $\log_4 x$ は $x>0$ で単調増加する。上側は $$2022<2048=2^{11}=4^{11/2}$$ より $$\displaystyle \log_4 2022<\log_4(4^{11/2})=\frac{11}{2}=5.5.$$ 下側を示す。$d=\log_{10}2$ とおくと、許された範囲から $0<d<0.3011$。また $2022>2000=2\cdot10^3$ だから $$\displaystyle \log_4 2022>\log_4 2000 =\frac{\log_{10}2000}{\log_{10}4} =\frac{3+d}{2d}.$$ ここで $0.3011=3011/10000<15/49$（$3011\cdot49=147539<150000$）なので $d<15/49$。従って $$\displaystyle \frac{3+d}{2d}>5.4 \quad\text{すなわち}\quad 3>9.8d \quad\text{すなわち}\quad d<\frac{15}{49},$$ が成り立つ。以上から $$\boxed{5.4<\log_4 2022<5.5}.$$

単元：指数関数・対数関数。方法：底の変換公式、対数関数の単調性、小数範囲の有理数比較。テーマ：既知の常用対数の評価を別底の対数の挟み撃ちに使う。