2京都大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$n\geq5$ とし、$1$ から $n$ までの番号から異なる3枚を同時に選ぶ。小さい順にその番号を $X<Y<Z$ とする。

条件 $Y-X\geq2$, $Z-Y\geq2$ を満たす組と、$1$ から $n-2$ までから選ぶ3個の数 $a<b<c$ との間に $$a=X,\qquad b=Y-1,\qquad c=Z-2$$ という対応を考える。条件を満たす $X,Y,Z$ なら $$1\leq X<Y-1<Z-2\leq n-2$$ である。逆に $1\leq a<b<c\leq n-2$ から $$X=a,\qquad Y=b+1,\qquad Z=c+2$$ と戻せば、$Y-X=b+1-a\geq2$ および $Z-Y=c-b+1\geq2$ が成り立つ。したがってこの対応では、どちらの組からも他方の組がただ一通りに定まり、条件を満たす組の数は $$\displaystyle \binom{n-2}{3}$$ である。

全ての3枚の選び方は $\displaystyle \binom n3$ 通りなので、求める確率は $$\displaystyle \boxed{\frac{\binom{n-2}{3}}{\binom n3} =\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}}.$$