新潟大学 2010年数学第1問解答・解説

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1問題

新潟大学2010年度第1問

四面体 OABC において，OA = OB = OC = 3，AB = BC = CA = √6 である。また，点 P は辺 AB を x : 1 − x に内分し，点 Q は辺 OC を y : 1 − y に内分する（0 < x < 1，0 < y < 1）。 $\overrightarrow{OA}$ = $\vec{a}$ ， $\overrightarrow{OB}$ = $\vec{b}$ ， $\overrightarrow{OC}$ = $\vec{c}$ として，次の問いに答えよ。

(1) 内積 $\vec{a}$ ・ $\vec{b}$ を求めよ。

(2) $\overrightarrow{PQ}$ を $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ , x, y で表せ。

(3) 2点 P，Q の間の距離 PQ の最小値と，そのときの x，y の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

辺の長さから空間ベクトル間の内積を定め、内分点の位置ベクトルでPQを表す。PQの長さの2乗をx,yの二次式にし、平方完成して制約内で最小化する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\;\vec a\cdot\vec b=6,$
$(2)\;\overrightarrow{PQ}=y\vec c-(1-x)\vec a-x\vec b,$
$\displaystyle (3)\;\min PQ=\sqrt{\frac72}=\frac{\sqrt{14}}2\quad\left(x=\frac12,\space{}y=\frac23\right).$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \text{辺の長さから }|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=3,\ |\vec a-\vec b|=\sqrt6\text{ なので}\\ |\vec a-\vec b|^2=18-2\vec a\cdot\vec b=6,\quad\therefore\quad\vec a\cdot\vec b=6.\\ \text{同様に }\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=6.\\ AP:PB=x:(1-x),\ OQ:QC=y:(1-y)\text{ より}\\ \overrightarrow{OP}=(1-x)\vec a+x\vec b,\quad \overrightarrow{OQ}=y\vec c,\quad \therefore\quad\overrightarrow{PQ}=y\vec c-(1-x)\vec a-x\vec b.\\ \text{内積を用いると}\\ PQ^2=9\{(1-x)^2+x^2+y^2\}+12x(1-x)-12y\\ =6\left(x-\frac12\right)^2+9\left(y-\frac23\right)^2+\frac72.\\ 0<x<1,\ 0<y<1\text{ の範囲内で }x=\frac12,\ y=\frac23\text{ が許されるため、}\\ PQ_{\min}=\sqrt{\frac72}=\frac{\sqrt{14}}2.$

この問題で使う考え方

位置ベクトル
ベクトルの内積
空間座標と空間ベクトル
ベクトルによる図形の考察
二次関数の最大・最小

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