1秋田大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(i) $\pi$ の方程式は $\displaystyle \frac{x}{a}$+$\displaystyle \frac{y}{b}$+$\displaystyle \frac{z}{c}$=1 であり、法線ベクトルは $\displaystyle \left(\frac1a,\frac1b,\frac1c\right)$ である。$\overrightarrow{OP}$=$\lambda$$\displaystyle \left(\frac1a,\frac1b,\frac1c\right)$ とおく。点Pは平面$\pi$上にあるので $$\displaystyle \lambda\left(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}\right)=1.$$ したがって $\displaystyle \lambda=\frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2}$. 一方、問題の表示から $\overrightarrow{OP}=(as,bt,c(1-s-t))$ なので $$\displaystyle s=\frac{\lambda}{a^2}=\frac{b^2c^2}{D},\qquad t=\frac{\lambda}{b^2}=\frac{a^2c^2}{D},\qquad D=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2.$$

(ii) $\displaystyle M=\left(\frac a2,\frac b2,0\right)$ より $\displaystyle Q=C+r(M-C)=\left(\frac{ar}{2},\frac{br}{2},c(1-r)\right)$. よって $$\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|^2=\frac{a^2+b^2}{4}r^2+c^2(1-r)^2 =\frac{a^2+b^2+4c^2}{4}\left(r-\frac{4c^2}{a^2+b^2+4c^2}\right)^2+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+4c^2}.$$ ゆえに最小にする値は $\displaystyle r=\frac{4c^2}{a^2+b^2+4c^2}$ で、そのとき $$\displaystyle |\overrightarrow{OQ}|=\frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+4c^2}}.$$

(iii) $\displaystyle S_1=\frac{ab}{2},\quad S_2=\frac{bc}{2},\quad S_3=\frac{ca}{2}$. また $\overrightarrow{AB}$=(-a,b,0), $\overrightarrow{AC}$=(-a,0,c) とする。$\overrightarrow{AB}$ を底辺としたときの高さを h とすれば、内積による射影と三平方の定理から $$\displaystyle h^2=|\overrightarrow{AC}|^2-\frac{(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2}{|\overrightarrow{AB}|^2} =a^2+c^2-\frac{a^4}{a^2+b^2}.$$ したがって $$4S^2=|\overrightarrow{AB}|^2h^2=(a^2+b^2)(a^2+c^2)-a^4=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2.$$ 一方 4(S_1^2+S_2^2+S_3^2)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 なので、$S^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$ が成り立つ。