2秋田大学 2001年 数学 第2問解答・解説

(i) 放物線 $y=x^2$ の $x=p,q$ における接線はそれぞれ $$y=2px-p^2,\qquad y=2qx-q^2.$$ これらを連立すると $$2(p-q)x=p^2-q^2=(p-q)(p+q)$$ だから $x=(p+q)/2$、従って $y=pq$。よって $$\displaystyle R\left(\frac{p+q}{2},pq\right).$$

(ii) $d=q-p>0$ とする。$R$ から見たベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{RP}=-\frac d2(1,2p),\qquad \overrightarrow{RQ}=\frac d2(1,2q).$$ 内積と外積の大きさはそれぞれ $$\displaystyle \overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ}=-\frac{d^2}{4}(1+4pq),\qquad |\det(\overrightarrow{RP},\overrightarrow{RQ})|=\frac{d^3}{2}.$$ したがって $1+4pq\ne0$ のとき $$\displaystyle \tan\theta=-\frac{2(q-p)}{1+4pq}.$$ $1+4pq=0$ なら $\theta=\pi/2$ となるため、$\tan\theta$ は定義されない。

(iii) $y_R=pq=-2$。このとき $$\displaystyle \tan\theta=\frac{2(q-p)}7, \qquad(q-p)^2=(p+q)^2-4pq=(p+q)^2+8\ge8.$$ よって $\tan\theta\ge4\sqrt2/7$。等号は $p+q=0$, $pq=-2$、すなわち $p=-\sqrt2,q=\sqrt2$ のとき成立する。

(iv) $d=q-p$ とおく。$P$ を始点とするベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{PR}=\frac d2(1,2p),\qquad \overrightarrow{PQ}=d(1,p+q).$$ 従って、$\tan\theta_1$ が定義されるとき $$\displaystyle \frac1{\tan\theta_1}=\cot\theta_1=\frac{1+2p(p+q)}{d}.$$ 同様に $$\displaystyle \frac1{\tan\theta_2}=\cot\theta_2=\frac{1+2q(p+q)}{d}$$ （$\tan\theta_2$ が定義されるとき）。したがって、両角が直角でない範囲では $$\displaystyle \frac1{\tan\theta_1}+\frac1{\tan\theta_2} =\frac{2(1+(p+q)^2)}{q-p}.$$ 原文の $p<q$ だけでは $\theta_1$ または $\theta_2$ が直角となる場合を除外しない。その場合、字義通りの $1/\tan\theta_j$ は未定義だが、$\cot\theta_j$ として連続的に拡張すれば上式が成り立つ。