1北海道大学 2000年 数学 第1問解答・解説

(1) $x\le0$ では下境界が $y=-x$、$x\ge0$ では $y=x$。上の放物線 $y=-x^2/2+3$ との交点条件から、領域は $$\displaystyle 1-\sqrt7\le x\le\sqrt7-1,\qquad |x|\le y\le-\frac12x^2+3$$ である。図はこの2境界に挟まれた領域を塗ったものである。

(2) 放物線上の接点を $(t,-t^2/2+3)$ とすると接線は $$\displaystyle y=-tx+\frac12t^2+3.$$ これが $A=(-7/2,0)$ を通る条件は $(t+1)(t+6)=0$。接点 $(-6,-15)$ は領域外なので、$B=(-1,5/2)$、直線ABは $y=x+7/2$。領域の点 $P=(x,y)$ から直線ABまでの距離は $(x+7/2-y)/\sqrt2$。$y\ge|x|$ より $x-y\le0$ であり、最大値は $P=(0,0)$ で得る $7/(2\sqrt2)$。また $|AB|=5\sqrt2/2$ だから $$\displaystyle [ABP]_{\max}=\frac12\cdot\frac{5\sqrt2}{2}\cdot\frac{7}{2\sqrt2}=\frac{35}{8}.$$

(3) 領域では $x\ge1-\sqrt7>-7/2$、$y\ge0$。また $$\displaystyle -\frac12x^2+3\le x+\frac72$$ なので、$0\le y/(x+7/2)\le1$。全ての中間値が取れることを確認する。$0\le r\le1$ を満たす任意の $r$ に対して $t=7r/(5+2r)$ とおくと $0\le t\le1$ で、点 $(-t,5t/2)$ は $D$ に属する。その点で比は $$\displaystyle \frac{5t/2}{7/2-t}=\frac{5t}{7-2t}=r.$$ 従って値域は $0\le y/(x+7/2)\le1$。