4北海道大学 2000年 数学 第4問解答・解説

・ $Ae^x-x=0$ は $A=xe^{-x}=h(x)$ と同値である。$\displaystyle h'(x)=\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$ より、$h$ は $0<x<1$ で増加し、$1<x<3$ で減少する。前者の値域は $0<h(x)<1/e$、後者の値域は $3/e^3<h(x)<1/e$ だから、両方の区間にそれぞれ1つずつ解をもつ条件は $3/e^3<A<1/e$ である。

・ $\displaystyle F(t)=\frac12e^t(\sin t+\cos t)$ とおくと、積の微分により $\displaystyle F'(t)=\frac12e^t(\sin t+\cos t)+\frac12e^t(\cos t-\sin t)=e^t\cos t$。よって $\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^t\cos t\,dt=F(\pi/2)-F(0)=\frac{e^{\pi/2}-1}{2}$。

・ $\displaystyle C=2\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(t)\cos t\,dt$ とおくと、与式から $f(x)=ce^x$、ただし $c=e^{C-3}>0$。(2)の値を $I$ とし $K=2I=e^{\pi/2}-1$ とおけば、$C=2cI=Kc$ なので $\log c=Kc-3$、すなわち $g(c)=\log c-Kc+3=0$ となる。$\pi>3$、$e>2.7$ より $e^{\pi/2}>e^{3/2}=e\sqrt e>2.7\sqrt{2.7}>2.7\cdot1.6>4$ だから $K>3$。また $\pi<4$ より $K<e^2-1<e^2$。したがって $e^{-4}<1/K<1$。$g$ は正の範囲で連続であり、$g(e^{-4})=-1-Ke^{-4}<0$、$g(1/K)=2-\log K>0$、$g(1)=3-K<0$。中間値の定理により、$g$ は $e^{-4}<c_1<1/K$、$1/K<c_2<1$ を満たす根 $c_1,c_2$ をもつ。各根について $f_i(x)=c_i e^x$ とすれば、$\displaystyle 2\displaystyle\int_0^{\pi/2}f_i(t)\cos t\,dt=Kc_i$ かつ $\log f_i(x)=\log c_i+x=Kc_i-3+x$ であり、元の式を満たす。さらに $f_i(0)=c_i<1$、$c_1\ne c_2$ なので、条件を満たす関数が2つ存在する。