北海道大学 2000年数学第3問解答・解説

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1問題

北海道大学2000年度第3問

空間内の4点 O(0, 0, 0), A(-1, 1, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 1) をとる。

(1) 直線 OA 上の点 H をとって CH と OA が垂直であるようにする。H の座標を求めよ。 $\angle CHC' = \theta$ として $\cos \theta$ の値を求めよ。ただし $C' = (0, 1, 0)$ とする。

(2) 直線 OA 上の点 P と直線 BC 上の点 Q との距離 PQ が最小となる P, Q の座標を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle H=\left(-\frac12,\frac12,0\right),\quad \cos\theta=\frac1{\sqrt3}$ 。 (2) $\displaystyle P=\left(\frac12,-\frac12,0\right),\quad Q=(1,0,0)$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) HはOA上にあるので $H=t(-1,1,0)$ 。CH⊥OAより $(H-C)\cdot(-1,1,0)=2t-1=0,$ したがって $H=(-1/2,1/2,0)$ 。 $HC=(1/2,1/2,1), HC'=(1/2,1/2,0)$ だから内積は $1/2$ 、長さはそれぞれ $\sqrt{3/2},\sqrt{1/2}$ 。従って $\cos\theta=1/\sqrt3$ 。 (2) OA上のPとBC上のQを $P=(-s,s,0),Q=(1-u,u,u)$ と置く。 $v=u-s$ とすれば $\displaystyle PQ^2=(1-v)^2+v^2+u^2 =2(v-\tfrac12)^2+\tfrac12+u^2.$ 最小は $\displaystyle v=\frac12,\ u=0$ 。すると $\displaystyle s=-\frac12$ なので $\displaystyle P=\left(\frac12,-\frac12,0\right),\qquad Q=(1,0,0).$

この問題で使う考え方

垂直条件と内積
角の余弦
平方完成による距離最小化

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