5北海道大学 2000年 数学 第5問解答・解説

以下の独立解説を採用する。

(1) 係数の決定 $f(0)=1, f'(0)=2$ より $d=1,c=2$。$U=at^3, W=bt^2$ と置くと、$f(t)=p$, $f'(t)=q$ から $$U+W=p-2t-1,\qquad 3U+2W=t(q-2).$$ よって $$U=tq-2p+2t+2,\quad W=3p-tq-4t-3,$$ したがって $$\displaystyle \boxed{a=\frac{tq-2p+2t+2}{t^3}},\qquad \boxed{b=\frac{3p-tq-4t-3}{t^2}}.$$

(2) 領域と面積 $t>0$ なので $a\le0,b\le0,p\ge0$ は $$0\le p,\quad tq\le2p-2t-2,\quad tq\ge3p-4t-3.$$ 上下の $q$ 境界が順序どおりになるには $p\le2t+1$。したがって領域は頂点 $$(0,-4-3/t),\quad(0,-2-2/t),\quad(2t+1,2)$$ を持つ三角形である。その面積は $$\displaystyle S=\frac12(2t+1)(2+1/t)=\boxed{2t+2+\frac1{2t}}.$$

(3) 最小値 正数 $2t$ と $1/(2t)$ の積は1だから、相加相乗平均より $2t+1/(2t)\ge2$。等号は $2t=1/(2t)$、すなわち $t=1/2$ のとき。従って $$\displaystyle \boxed{t=\frac12,\qquad S_{\min}=4}.$$

単元・方法・テーマ 単元：数学II「微分法」、数学II「図形と方程式」、数学I「数と式」。方法：連立一次方程式、一次不等式、三角形の面積、相加相乗平均。テーマ：関数の値と導関数値で定める多項式の係数制約領域。