2北海道大学 2000年 数学 第2問解答・解説

隣り合う辺の方向の差を$\displaystyle \theta=\dfrac{360^\circ}{4n}=\dfrac{90^\circ}{n}$とする。

（1）辺$P_kP_{k+1}$の方向は辺$P_0P_1$から$k\theta$だけ回転している。$Q_kP_0$は辺$P_0P_1$の逆向きなので、$$\displaystyle \angle P_0Q_kP_{k+1}=180^\circ-k\theta=\left(\dfrac{90(2n-k)}{n}\right)^\circ.$$

（2）正$4n$角形を含む三角形の左右の斜辺は、それぞれ右側の辺$P_kP_{k+1}\;(1\leq k\leq 2n-1)$と左側の辺$P_lP_{l+1}\;(2n+1\leq l\leq 4n-1)$の延長線である。底辺との右の角を$\alpha$、左の角を$\beta$とすると、$$\alpha=(2n-k)\theta,\qquad \beta=(l-2n)\theta.$$ $\alpha<90^\circ$、$\beta<90^\circ$より$n<k<2n$、$2n<l<3n$。頂角を$\gamma$とすれば、三角形の内角の和から$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-(l-k)\theta.$$ これが鋭角である条件は$l-k>n$である。ここで$i=k-n$、$j=l-2n$とおくと、$1\leq i,j\leq n-1$かつ$j>i$。したがって組の数は$$\displaystyle \binom{n-1}{2}=\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}.$$

正4n角形の辺方向は一定角ずつ回転する。これにより(1)の交点角を求める。(2)では外接三角形の3つの内角を正多角形の辺間隔で表し、鋭角条件を整数対の条件に直して数える。