東京慈恵会医科大学／2007年度／1次

東京慈恵会医科大学 2007年数学第1問解答・解説

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1問題

東京慈恵会医科大学2007年度第1問

次の $\square$ にあてはまる答えを解答欄に記入せよ。

(1) 三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ の長さはそれぞれ $4,5$ であり、 $\displaystyle \cos A=\frac18$ である。この三角形の内心を $I$ とし、ベクトル $\overrightarrow{AI}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表したい。 $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とする。まず、辺 $BC$ の長さは $\boxed{\text{ア}}$ である。次に、線分比 $BD:DC$ 、つづいて $AI:ID$ を容易に求めることができる。これを用いれば、 $\overrightarrow{AI}$ を $\overrightarrow{AI}=\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{AD} =\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{AB}+\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{AC}$ と表せる。このことから $\left|\overrightarrow{AI}\right|=\boxed{\text{オ}}$ も得られる。

(2) $\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ を定積分で表せば $\boxed{\text{カ}}$ であり、この値は $\boxed{\text{キ}}$ である。

さらに、 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{\sqrt{n}}{n^{2}+k^{2}}=\boxed{\text{ク}}$ であることが分る。

(3) 1から $n$ までの番号がひとつずつ書かれた $n$ 枚のカード（ $n\geq7$ ）から、同時に4枚を抜き出す。この試行において、確率 $p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5}$ を次のように定める。

$p_{1}$ ：4枚の番号が連続する確率。

$p_{2}$ ： $12;56$ のように4枚は連続せず、2枚だけ番号が連続するカードが2組である確率。

$p_{3}$ ： $123;6$ のように4枚でなく3枚だけの番号が連続する確率。

$p_{4}$ ： $12;4;6$ のように3枚は連続せず、2枚だけ番号が連続する確率。

$p_{5}$ ：どのふたつの番号も連続しない確率。

このとき、 $p_{1}=\boxed{\text{ケ}},\ p_{2}=\boxed{\text{コ}},\ p_{3}=\boxed{\text{サ}}$ 、 $\displaystyle \begin{aligned} p_{4}&=\frac{12(n-4)(n-5)}{n(n-1)(n-2)},\\ p_{5}&=\frac{(n-4)\cdot\boxed{\text{シ}}}{n(n-1)(n-2)}. \end{aligned}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\;6,\frac35,\frac13,\frac4{15},2$
$\displaystyle (2)\;\int_0^1\frac{dx}{1+x^2},\frac\pi4,0$
$\displaystyle (3)\;\frac{24}{n(n-1)(n-2)},\frac{12(n-4)}{n(n-1)(n-2)},\frac{24(n-4)}{n(n-1)(n-2)},(n-5)(n-6)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 余弦定理より $\displaystyle BC^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cdot\frac18=36,$ したがって $BC=6$ 。角の二等分線の定理から $BD:DC=4:5$ なので $\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac59\overrightarrow{AB}+\frac49\overrightarrow{AC}.$ 内接円の半径を $r$ とすると、三角形 $ABC$ の面積は $15r/2$ 、また $[AIC]=5r/2$ 、 $[AIB]=4r/2$ である。 $\overrightarrow{AI}=u\overrightarrow{AB}+v\overrightarrow{AC}$ とおけば、面積比から $u=[AIC]/[ABC]=1/3$ 、 $v=[AIB]/[ABC]=4/15$ 。よって $\displaystyle \overrightarrow{AI}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac4{15}\overrightarrow{AC} =\frac35\overrightarrow{AD},$ したがって $AI:ID=3:2$ 。さらに $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot5\cdot(1/8)=5/2$ より $\displaystyle |\overrightarrow{AI}|^2=\frac{16}{9}+\frac{16}{9}+2\cdot\frac13\cdot\frac4{15}\cdot\frac52=4,$ したがって $|\overrightarrow{AI}|=2$ 。

(2) $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2} =\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\frac{1}{1+(k/n)^2} \longrightarrow\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac\pi4.$ また各項は $\sqrt n/(n^2+k^2)\le\sqrt n/n^2$ だから $\displaystyle 0\le\sum\limits _{k=1}^n\frac{\sqrt n}{n^2+k^2}\le\frac1{\sqrt n}\longrightarrow0.$

(3) 全事象数は $\displaystyle \binom n4$ 。

4枚が連続する組は $n-3$ 通りなので $\displaystyle p_1=\frac{n-3}{\binom n4}=\frac{24}{n(n-1)(n-2)}.$ 2枚連続の組を2つ作り、その間に少なくとも1枚の空きがある配置数は $\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{n-4}(n-j-3)=\frac{(n-3)(n-4)}2$ だから $\displaystyle p_2=\frac{(n-3)(n-4)/2}{\binom n4}=\frac{12(n-4)}{n(n-1)(n-2)}.$ 3枚連続のブロックの開始位置は $n-2$ 通り。ブロックの外から1枚を選ぶ $n-3$ 通りから、ブロックに隣接して4枚連続になってしまう位置を除く。全開始位置について数えると、配置数は $(n-2)(n-3)-2(n-3)=(n-3)(n-4)$ となる。よって $\displaystyle p_3=\frac{(n-3)(n-4)}{\binom n4}=\frac{24(n-4)}{n(n-1)(n-2)}.$ 2連続の組1つと単独2枚からなる配置の数は、選ばれた4枚を連続ブロック $2,1,1$ の3群に分け、群間に少なくとも1枚ずつ空きを置く数であり、 $\displaystyle 3\binom{n-3}{3}=(n-3)(n-4)(n-5)/2$ 。したがって設問にある $\displaystyle p_4=\frac{12(n-4)(n-5)}{n(n-1)(n-2)}$ と一致する。

どの2枚も連続しない選び方は、選んだ番号 $a_1<a_2<a_3<a_4$ を $a_i-(i-1)$ に移すと $1$ から $n-3$ までから4枚を選ぶ場合と一対一に対応する。ゆえに $\displaystyle p_5=\frac{\binom{n-3}{4}}{\binom n4} =\frac{(n-4)(n-5)(n-6)}{n(n-1)(n-2)}.$ したがって空欄は $\displaystyle \text{ア}=6,\quad \text{イ}=\frac35,\quad \text{ウ}=\frac13,\quad \text{エ}=\frac4{15},\quad \text{オ}=2,$ $\displaystyle \text{カ}=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2},\quad \text{キ}=\frac\pi4,\quad \text{ク}=0,$ $\displaystyle \text{ケ}=\frac{24}{n(n-1)(n-2)},\quad \text{コ}=\frac{12(n-4)}{n(n-1)(n-2)},\quad \text{サ}=\frac{24(n-4)}{n(n-1)(n-2)},\quad \text{シ}=(n-5)(n-6).$

この問題で使う考え方

余弦定理・角の二等分線・ベクトル/面積比・内積、リーマン和と基本的な上界評価、組合せと隣接条件の計数。大学数学の定理をブラックボックスとして使っていない。author.corrected.jsonでは未登録method名を取り除き、当該訂正後も解答内容に差はない。

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