2東京慈恵会医科大学 2007年 数学 第2問解答・解説

解答

(1) $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とする。定義に従って成分を計算すると $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix},$$ したがって $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$，すなわち $g(A)=O$ である。 $f(x)$ が $g(x)$ で割り切れれば $f(x)=g(x)h(x)$ と書ける。多項式を同じ行列 $A$ に代入した積は行列の積に対応するので，$f(A)=g(A)h(A)=O$ となる。

逆に $f(A)=O$ とする。多項式の割り算により $$f(x)=q(x)g(x)+\alpha x+\beta$$ と書ける。$x$ に $A$ を代入すると $$O=f(A)=q(A)g(A)+\alpha A+\beta E=\alpha A+\beta E.$$ もし $\alpha\ne0$ なら $\displaystyle A=-\frac{\beta}{\alpha}E$ となり，仮定に反する。よって $\alpha=0$ であり，$\beta E=O$ から $\beta=0$ である。したがって余りは0で，$f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる。以上で必要十分性が示された。

(2) 条件の行列を $A$ とし， $$p_s(x)=x^5-(s-1)x^3+4sx^2-8$$ とおくと，条件は $p_s(A)=O$ である。非対角成分は $t-2$ と $-2(t-1)$ であり，両方が同時に0にはならないから，$A$ は単位行列の定数倍ではない。よって (1) より $g(x)$ は $p_s(x)$ を割り切る。

この $A$ の対角成分の和は $t+2$，固有多項式の定数項は $$(2t-1)(3-t)-(t-2)(-2t+2)=t+1$$ であるから， $$g(x)=x^2-(t+2)x+(t+1)=(x-1)(x-(t+1)).$$ 従って $p_s(1)=0$ であり， $$0=p_s(1)=1-(s-1)+4s-8=3(s-2)$$ から $s=2$ を得る。このとき $$p_2(x)=x^5-x^3+8x^2-8=(x-1)(x+1)(x+2)(x^2-2x+4).$$ $t+1$ は実数で $p_2(t+1)=0$ を満たす。また $x^2-2x+4=(x-1)^2+3>0$ だから，$t+1$ は $1,-1,-2$ のいずれかである。$t\ne0$ より $t+1\ne1$ なので，$t=-2$ または $t=-3$ である。対応する行列は $$\begin{array}{c|c} t&A\\ \hline -2&\begin{pmatrix}-5&-4\\6&5\end{pmatrix}\\[4pt] -3&\begin{pmatrix}-7&-5\\8&6\end{pmatrix} \end{array}$$ である。実際，それぞれの $g(x)$ は $p_2(x)$ の因数なので，(1) によりどちらも所定の行列方程式を満たす。