3東京慈恵会医科大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) 点 $P$ の座標

$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とおく。2点 $(c,0),(0,s)$ を通る直線は $$sX+cY=cs$$ と表せる。この直線の法線方向は $(s,c)$ で、$s^2+c^2=1$ である。原点から直線に下ろした垂線の足を $H=\lambda(s,c)$ とすると、$H$ が直線上にあることから $\lambda(s^2+c^2)=cs$、従って $H=(cs^2,c^2s)$。反射点 $P$ では $H$ が $OP$ の中点なので $$P=(2cs^2,2c^2s)=(\sin2\theta\sin\theta,\ \sin2\theta\cos\theta).$$ この式は $\theta=0,\pi/2$ でも $P=O$ を与える。

(2) $y\,dx/d\theta$

$x=\sin2\theta\sin\theta$、$y=\sin2\theta\cos\theta$ より $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=2\cos2\theta\sin\theta+\sin2\theta\cos\theta.$$ 従って $$\displaystyle \begin{aligned} y\frac{dx}{d\theta} &=\sin^2 2\theta\left(\cos2\theta+\cos^2\theta\right)\\ &=\frac12\sin^2 2\theta\left(1+3\cos2\theta\right), \end{aligned}$$ ここで $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$ を用いた。

(3) $y=x$ に関する対称性

(1)の表示から $$\displaystyle P\left(\frac\pi2-\theta\right) =\left(\sin2\theta\cos\theta,\ \sin2\theta\sin\theta\right) =(y(\theta),x(\theta)).$$ $0\leq\theta\leq\pi/2$ ならば $0\leq\pi/2-\theta\leq\pi/2$ であり、置き換えた角も同じ範囲全体を動くので、曲線 $C$ は座標を入れ替えた点もすべて含む。従って $C$ は直線 $y=x$ に関して対称である。

(4) 囲まれる部分の面積

$0<\theta<\pi/2$ では $x,y>0$ であり、$y/x=\cot\theta$。また $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=2\sin\theta(2\cos^2\theta-\sin^2\theta)$$ は $\tan^2\theta<2$ で正、$\tan^2\theta>2$ で負となる。従って $x$ は $\theta_0=\arctan\sqrt2$ まで増加し、その後0へ戻る。各 $0<x<x(\theta_0)$ に対応する二つのパラメータを $\theta_1<\theta_0<\theta_2$ とすると、$y/x=\cot\theta$ より小さい方の $\theta_1$ の枝が上側である。よって縦長の細片で面積を足し合わせると、上側枝の $\displaystyle \int y\,dx$ と下側枝の逆向きの $\displaystyle \int y\,dx$ の和になり、 $$\displaystyle A=\int_0^{\pi/2}y\frac{dx}{d\theta}\,d\theta.$$ (2)の式を用い、$u=2\theta$ と置換すれば $$\displaystyle \begin{aligned} A&=\frac14\int_0^\pi\sin^2u(1+3\cos u)\,du\\ &=\frac14\left(\frac\pi2+3\left[\frac{\sin^3u}{3}\right]_0^\pi\right)=\frac\pi8. \end{aligned}$$ 従って求める面積は $\displaystyle \boxed{\dfrac\pi8}$ である。