4a,4b4の選択肢名古屋大学 2007年 数学 第4a,4b4の選択肢問解答・解説

接点を $T=(u,v)$ とすると、$|T|^2=1$ かつ接線と半径は垂直だから $(P-T)\cdot T=0$。よって $x_0u+y_0v=1$ であり、2接点を結ぶ弦は $x_0x+y_0y=1$ 上にある。その中点 Q への半径 OQ は弦に垂直なので $Q=\lambda(x_0,y_0)$。 $s=x_0^2+y_0^2>1$ とおくと $x_0x_1+y_0y_1=1$ より $\displaystyle \lambda=\frac1s$。$\displaystyle \therefore\quad (x_1,y_1)=\left(\frac{x_0}{x_0^2+y_0^2},\frac{y_0}{x_0^2+y_0^2}\right)$。　 $\displaystyle OP=\sqrt{s},\quad OQ=\frac1{\sqrt{s}}$ だから $OP\cdot OQ=1$。(2) $P=(t,2-t)$ とおくと $s=t^2+(2-t)^2$ で、$\displaystyle (x_1,y_1)=\left(\frac{t}{s},\frac{2-t}{s}\right)$。したがって $\displaystyle x_1+y_1=\frac2s=2(x_1^2+y_1^2)$。ゆえに軌跡は $\displaystyle x_1^2+y_1^2=\frac{x_1+y_1}{2}$、すなわち$\displaystyle \left(x_1-\frac14\right)^2+\left(y_1-\frac14\right)^2=\frac18$ を満たす円周である。t は有限実数なので $Q\ne O$。逆にこの円周上の Q$\ne$ O に対して $\displaystyle P=\frac{Q}{|Q|^2}$ とおけば $x_0+y_0=2$ となる。よって原点を除く円周全体。