3名古屋大学 2007年 数学 第3問解答・解説

条件の積分を計算すると $$\displaystyle \begin{aligned} 1&=\int_{a_n}^{a_{n+1}}x^{-1/3}\,dx =\frac32\left(a_{n+1}^{2/3}-a_n^{2/3}\right),\\ a_{n+1}^{2/3}-a_n^{2/3}&=\frac23. \end{aligned}$$ したがって $b_n=a_n^{2/3}$ は初項 $1$，公差 $\displaystyle \frac23$ の等差数列であり， $$\displaystyle a_n^{2/3}=1+(n-1)\frac23=\frac{2n+1}{3}.$$ 回転体の断面は半径 $y=x^{-1/3}$ の円なので， $$\displaystyle \begin{aligned} V_n&=\pi\int_{a_n}^{a_{n+1}}(x^{-1/3})^2\,dx =3\pi\left(a_{n+1}^{1/3}-a_n^{1/3}\right)\\ &=\pi\sqrt3\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n+1}\right). \end{aligned}$$ よって差を有理化すれば， $$\displaystyle \begin{aligned} \sqrt n\,V_n &=\frac{2\pi\sqrt3}{\sqrt{2+3/n}+\sqrt{2+1/n}}\\ &\longrightarrow \frac{2\pi\sqrt3}{2\sqrt2} =\pi\sqrt{\frac32}\qquad(n\to\infty). \end{aligned}$$