2和歌山県立医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

（1）$k\pi\le x\le(k+1)\pi$ では $x\ge0$ であり、$(-1)^k\sin x\ge0$ である。したがって、この区間では $|x\sin x|=(-1)^k x\sin x$ となるから、 $$\displaystyle S_k=(-1)^k\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}x\sin x\,dx =(-1)^k[-x\cos x+\sin x]_{k\pi}^{(k+1)\pi}.$$ 端点で $\sin(m\pi)=0,\ \cos(m\pi)=(-1)^m$ を用いると、 $$S_k=(-1)^k\{(k+1)\pi(-1)^k+k\pi(-1)^k\}=(2k+1)\pi.$$

領域を $x$ 軸の周りに回転したとき、各 $x$ における断面は半径 $|x\sin x|$ の円板である。よって $$\displaystyle V_k=\pi\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}x^2\sin^2x\,dx.$$ $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$ および部分積分から $$\displaystyle \int x^2\sin^2x\,dx=\frac{x^3}{6}-\frac{x^2\sin2x}{4}-\frac{x\cos2x}{4}+\frac{\sin2x}{8}.$$ $x=m\pi$ では $\sin2x=0,\ \cos2x=1$ だから、 $$\displaystyle V_k=\pi\left[\frac{x^3}{6}-\frac{x}{4}\right]_{k\pi}^{(k+1)\pi} =\frac{(3k^2+3k+1)\pi^4}{6}-\frac{\pi^2}{4}.$$

（2）（1）の結果より $$\displaystyle \frac{S_k^2}{V_k} =\frac{(2k+1)^2}{\dfrac{\pi^2}{6}(3k^2+3k+1)-\dfrac14}.$$ $k^2$ で分子・分母を割ると、 $$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}\frac{S_k^2}{V_k} =\frac{4}{\pi^2\cdot3/6}=\frac{8}{\pi^2}.$$

（3）奇数の和より $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{n}S_k=\pi\sum\limits _{k=0}^{n}(2k+1)=\pi(n+1)^2.$$ $n\ge0$ の整数に対してこの和は $n$ とともに増加する。$3.14<\pi<22/7$ を用いると、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=0}^{15}S_k=256\pi<256\cdot\frac{22}{7}<900, \qquad \sum\limits _{k=0}^{16}S_k=289\pi>289\cdot3.14>900.$$ したがって、条件を満たす最小の整数は $n=16$ である。