4和歌山県立医科大学 2018年 数学 第4問解答・解説

$s=\sqrt{1+a^2}$ とおく。$a>0$ だから $s>1$ である。円の中心を $C(u,v)$、半径を $r$ とする。直線 $l_3:y=0$ との距離が $r$ なので、$r=|v|>0$ であり、$v=\sigma r$（$\sigma=1$ または $-1$）と書ける。

直線 $l_1,l_2$ をそれぞれ $ax-y+a=0,\ ax+y=0$ と表すと、点 $C$ と各直線との距離が $r$ である条件は $$|au-v+a|=sr,\qquad |au+v|=sr$$ である。したがって、それぞれ1または−1の値をとる$\varepsilon_1,\varepsilon_2$を用いて $$au-v+a=\varepsilon_1sr,\qquad au+v=\varepsilon_2sr$$ と書ける。$v=\sigma r$ を代入し、2式の差をとると $$a=r\{2\sigma+s(\varepsilon_1-\varepsilon_2)\},\qquad au=r(\varepsilon_2s-\sigma)$$ を得る。ここで $a,r>0$ なので、最初の式の右辺の括弧は正でなければならない。

まず $\varepsilon_1=\varepsilon_2=\tau$（$\tau=\pm1$）の場合、$a=2\sigma r$ だから $\sigma=1,\ r=a/2$ である。さらに $au=r(\tau s-1)$ より $u=(\tau s-1)/2$ となる。従って、$\tau=1,-1$ に対し、中心はそれぞれ $((s-1)/2,a/2)$、$(-(s+1)/2,a/2)$ である。

次に $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)=(1,-1)$ の場合、$a=2r(\sigma+s)$ である。$\sigma=1$ なら $r=a/[2(s+1)]$、$au=-r(s+1)$ から $u=-1/2$ であり、中心は $(-1/2,a/[2(s+1)])$ となる。$\sigma=-1$ なら $r=a/[2(s-1)]$（$s>1$ より正）で、$au=r(-s+1)$ から $u=-1/2$ であり、中心は $(-1/2,-a/[2(s-1)])$ となる。

最後に $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)=(-1,1)$ なら $a=2r(\sigma-s)$ となるが、$s>1,\ \sigma=\pm1$ から $\sigma-s<0$ であり、これは $a,r>0$ に反する。以上で全ての場合を尽くした。得られた各中心・半径は対応する符号付き2式と $v=\sigma r$ を満たすので、3直線からの距離がいずれも $r$ となり、実際に3直線すべてに接する。よって円の方程式は $$\displaystyle \left(x-\frac{s-1}{2}\right)^2+\left(y-\frac a2\right)^2=\left(\frac a2\right)^2,\qquad \left(x+\frac{s+1}{2}\right)^2+\left(y-\frac a2\right)^2=\left(\frac a2\right)^2,$$ $$\displaystyle \left(x+\frac12\right)^2+\left(y-\frac{a}{2(s+1)}\right)^2=\left(\frac{a}{2(s+1)}\right)^2,\qquad \left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac{a}{2(s-1)}\right)^2=\left(\frac{a}{2(s-1)}\right)^2.$$

次に半径を比べる。$s+1>1$ なので $a/[2(s+1)]<a/2$ である。また $s-1>0$ より、$a/[2(s-1)]$ と $a/2$ の大小は $1/(s-1)$ と $1$ の大小で決まり、$s\lessgtr2$、すなわち $a\lessgtr\sqrt3$ に応じて入れ替わる。したがって $$\displaystyle M=\begin{cases}\dfrac{a}{2(s-1)}=\dfrac{s+1}{2a}=\dfrac{\sqrt{1+a^2}+1}{2a}&(0<a\le\sqrt3),\\\dfrac a2&(a\ge\sqrt3).\end{cases}$$ 境界 $a=\sqrt3$ では $s=2$ となり、両方の式は $M=\sqrt3/2$ を与える。

左側の枝の形を見るため $t=1/a$ とおくと、$M=(\sqrt{t^2+1}+t)/2$ である。$t>0$ では右辺は $t$ とともに増加する一方、$t=1/a$ は $a$ とともに減少するので、この枝は $a$ とともに単調に減少する。また $M=(s+1)/(2a)>1/a$ だから、$a$ が $0$ に近づくと左側の枝は上方へ伸びる。右側の枝 $M=a/2$ は右上がりの直線である。従ってグラフは、定義域 $a>0$ で左上方から減少して $(\sqrt3,\sqrt3/2)$ に達し、そこから $M=a/2$ に沿って右上がりとなる。この点が唯一の最小点である。