3徳島大学 2018年 数学 第3問解答・解説

曲線 $C$ は $y=e^{3x}$ である。点 $P(t,e^{3t})$ における接線の傾きは $3e^{3t}$、法線の傾きは $-1/(3e^{3t})$ だから、各直線の $x$ 切片は $$\displaystyle a=t-\frac13,\qquad b=t+3e^{6t}.$$ したがって、 $$\displaystyle PQ^2=(a-t)^2+e^{6t}=\frac19+e^{6t},\qquad PR^2=(b-t)^2+e^{6t}=e^{6t}(9e^{6t}+1).$$ ゆえに $PR/PQ=3e^{3t}$ である。

(1) 条件 $PQ:PR=e:9$ は $PR/PQ=9/e$ と同値なので、 $$\displaystyle 3e^{3t}=\frac9e\quad\text{より}\quad t=\frac{\ln 3-1}{3}.$$

(2) $a=t-1/3<t$ より、領域の面積は $$\displaystyle S(t)=\int_{t-1/3}^{t}e^{3x}\,dx =\frac{e^{3t}-e^{3t-1}}{3} =\frac{e-1}{3e}e^{3t}.$$ $S(t)=e-1$ から $e^{3t}=3e$ となり、 $$\displaystyle t=\frac{1+\ln 3}{3}.$$

(3) $b-a=3e^{6t}+1/3>0$ なので、三角形の底辺は $QR=b-a$、高さは $e^{3t}$ である。したがって $$\displaystyle T(t)=\frac12(b-a)e^{3t}=\frac{e^{3t}(9e^{6t}+1)}{6}.$$ これと $S(t)$ を用いると $$\displaystyle \frac{e^{6t}S(t)}{T(t)} =\frac{2(e-1)e^{6t}}{e(9e^{6t}+1)} =\frac{2(e-1)}{e(9+e^{-6t})} \longrightarrow \frac{2(e-1)}{9e}\quad(t\to\infty).$$ したがって、極限値は $2(e-1)/(9e)$ である。