4徳島大学 2018年 数学 第4問解答・解説

2種類の目を小さい順に $a,b$ とし、大きい目 $b$ を出した人数を $r$ とする。$a<b$ となる目の組は $\displaystyle \binom62=15$ 通りあり、$r$ 人の選び方は $\displaystyle \binom nr$ 通りである。したがって、1回目にちょうど2種類の目が出て、大きい目を出した $r$ 人が残る事象を $E_r$ とすると、$1\le r\le n-1$ に対して $$\displaystyle \Pr(E_r)=\frac{15\binom nr}{6^n}.$$

(1) 1回目で優勝者が決まるのは、敗退しなかった人数が1人、すなわち $r=1$ のときに限る。よって $$\displaystyle \Pr(E_1)=\frac{15\binom n1}{6^n}=\frac{15n}{6^n}.$$

(2) 1回目に誰も敗退しないのは、出た目が1種類または3種類以上のときである。その余事象はちょうど2種類の目が出る場合であり、各目の組について両方の目が少なくとも1回ずつ出る並び方は $2^n-2$ 通りである。したがって $$\displaystyle \Pr(\text{敗退者なし})=1-\sum\limits _{r=1}^{n-1}\Pr(E_r)=1-\frac{15}{6^n}\sum\limits _{r=1}^{n-1}\binom nr=1-\frac{15(2^n-2)}{6^n}.$$

(3) 条件を満たす1回目の結果では、残る人数は $2\le r\le n-1$ である。残った $r$ 人の2回目の勝負で優勝者が決まるには、ちょうど2種類の目が出て、大きい目を出す人が1人であればよい。この場合の目の組は15通り、その1人の選び方は $r$ 通りなので、その確率は $15r/6^r$ である。2回目のさいころの出目は1回目と独立だから、求める確率は $$\displaystyle \sum\limits _{r=2}^{n-1}\Pr(E_r)\frac{15r}{6^r}=\frac{225}{6^n}\sum\limits _{r=2}^{n-1}\frac{r\binom nr}{6^r}.$$

$\displaystyle r\binom nr=n\binom{n-1}{r-1}$ と二項定理より $$\displaystyle \sum\limits _{r=2}^{n-1}\frac{r\binom nr}{6^r}=\frac n6\sum\limits _{s=1}^{n-2}\binom{n-1}{s}\frac1{6^s}=\frac n6\left[\left(1+\frac16\right)^{n-1}-1-\frac1{6^{n-1}}\right].$$ したがって $$\displaystyle \Pr=\frac{225n}{6^{n+1}}\left[\left(\frac76\right)^{n-1}-1-\frac1{6^{n-1}}\right].$$