2名古屋市立大学 2018年 数学 第2問解答・解説

表が出た回数をそれぞれ $h_P,h_Q$ とする。10回のうち表が $k$ 回出る場合の数は $\displaystyle \binom{10}{k}$ であり、全事象は $2^{10}=1024$ 通りである。　 (1) 点 $P$ は1回ごとに1つ進み、表のときはさらに1つ進むので、10回後の移動数は $10+h_P$ である。したがって $h_P$ を4で割った余りが $0,1,2,3$ のとき、点 $P$ はそれぞれ $C,D,A,B$ にいる。各余りの場合の数は$$\displaystyle \begin{aligned}h_P\equiv0\pmod4 &: \binom{10}{0}+\binom{10}{4}+\binom{10}{8}=256,\\h_P\equiv1\pmod4 &: \binom{10}{1}+\binom{10}{5}+\binom{10}{9}=272,\\h_P\equiv2\pmod4 &: \binom{10}{2}+\binom{10}{6}+\binom{10}{10}=256,\\h_P\equiv3\pmod4 &: \binom{10}{3}+\binom{10}{7}=240.\end{aligned}$$よって、$P$ が $A,B,C,D$ にいる確率は順に $256/1024=1/4$, $240/1024=15/64$, $256/1024=1/4$, $272/1024=17/64$ である。　 (2) 点 $Q$ は $C$ から出発するため、10回後の位置は $C$ から $10+h_Q$ 個進んだ位置であり、これは $A,B,C,D$ の順に $h_Q$ を4で割った余りが $0,1,2,3$ の場合に対応する。従って $Q$ が $A,B,C,D$ にいる確率は順に $1/4,17/64,1/4,15/64$ である。PとQの投げるコインの結果は独立なので、同じ位置にいる確率は$$\displaystyle \frac14\cdot\frac14+\frac{15}{64}\cdot\frac{17}{64}+\frac14\cdot\frac14+\frac{17}{64}\cdot\frac{15}{64}=\frac{511}{2048}.$$これで求める確率が得られた。