4名古屋市立大学 2018年 数学 第4問解答・解説

$a_k=k^{-2/3}$ とおき、$f(x)=x^{-2/3}\ (x\ge1)$ とする。$f$ は正であり、$1\le x_1<x_2$ ならば $f(x_1)>f(x_2)$ が成り立つので、各単位区間の長方形と曲線下の面積を比べると $$\displaystyle \int_1^{N+1} f(x)\,dx<S_N< f(1)+\int_1^N f(x)\,dx\qquad(N>1).$$ ここで $$\displaystyle \int_1^t x^{-2/3}\,dx=3(t^{1/3}-1).$$ $N=10^6=100^3$ とすると $$3\bigl((10^6+1)^{1/3}-1\bigr)<S_{1000000} <1+3\bigl((10^6)^{1/3}-1\bigr)=298.$$ $10^6+1>100^3$ だから左辺は $297$ より大きい。従って $$297<S_{1000000}<298,$$ よって $S_{1000000}$ の整数部分は $\boxed{297}$ である。