1名古屋市立大学 2018年 数学 第1問解答・解説

Aを原点とし、$\mathbf u=\overrightarrow{AB},\ \mathbf v=\overrightarrow{AD},\ \mathbf w=\overrightarrow{AE}$ とおく。直方体なので、これらは互いに垂直である。$a=AB,\ b=AD,\ c=AE$ とすれば、頂点の位置ベクトルは $$\overrightarrow{AC}=\mathbf u+\mathbf v,\quad \overrightarrow{AF}=\mathbf u+\mathbf w,\quad \overrightarrow{AH}=\mathbf v+\mathbf w,\quad \overrightarrow{AG}=\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w.$$

(1) 線分 $CE$ 上の点 $X$ を $$\overrightarrow{AX}=(1-t)(\mathbf u+\mathbf v)+t\mathbf w\qquad(0\le t\le1)$$ と表す。一方、三角形 $AFH$ 上の点は $$\overrightarrow{AX}=\lambda(\mathbf u+\mathbf w)+\mu(\mathbf v+\mathbf w),\qquad \lambda,\mu\ge0,\quad \lambda+\mu\le1$$ と表せる。係数を比較すると $$\lambda=1-t,\qquad \mu=1-t,\qquad t=\lambda+\mu$$ であるから、$\displaystyle t=\frac23$、$\displaystyle \lambda=\mu=\frac13$ となる。これは三角形内の点の条件も満たし、 $$\displaystyle \overrightarrow{AJ}=\frac13(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AH}).$$ したがって、$J$ は三角形 $AFH$ の3頂点 $A,F,H$ の位置ベクトルの平均に一致し、その重心である。

(2) 線分 $CE$ 上の点を同様に $\overrightarrow{AX}=(1-t)(\mathbf u+\mathbf v)+t\mathbf w$ とおく。三角形 $BDG$ 上の点は $$\overrightarrow{AX}=\lambda\mathbf u+\mu\mathbf v+\nu(\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w),\qquad \lambda,\mu,\nu\ge0,\quad \lambda+\mu+\nu=1$$ と表せる。係数比較から $$\lambda+\nu=1-t,\qquad \mu+\nu=1-t,\qquad \nu=t$$ なので、$\lambda=\mu=1-2t$。さらに $\lambda+\mu+\nu=1$ より $2-3t=1$、すなわち $\displaystyle t=\frac13$ である。このとき $\displaystyle \lambda=\mu=\nu=\frac13$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{AK}=\frac13(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AG}) =\frac13(2\mathbf u+2\mathbf v+\mathbf w).$$

$\displaystyle \mathbf j=\overrightarrow{AJ}=\frac13(\mathbf u+\mathbf v+2\mathbf w)$、$\displaystyle \mathbf k=\overrightarrow{AK}=\frac13(2\mathbf u+2\mathbf v+\mathbf w)$、$\mathbf s=\overrightarrow{AC}=\mathbf u+\mathbf v$ とし、$T=a^2+b^2$ とおく。$\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ の直交性から $$\displaystyle \begin{aligned} |\mathbf j|^2&=\frac{T+4c^2}{9},\quad |\mathbf k|^2=\frac{4T+c^2}{9},\\ \mathbf j\cdot\mathbf k&=\frac{2(T+c^2)}{9},\quad |\mathbf w|^2=c^2,\\ \mathbf w\cdot\mathbf j&=\frac{2c^2}{3},\quad |\mathbf s|^2=T,\quad \mathbf s\cdot\mathbf k=\frac{2T}{3}. \end{aligned}$$ 2つのベクトル $\mathbf x,\mathbf y$ を辺とする三角形の面積は、内積と $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ から $$\displaystyle \frac12\sqrt{|\mathbf x|^2|\mathbf y|^2-(\mathbf x\cdot\mathbf y)^2}$$ と表せる。これを各三角形に適用すると $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Area}(\triangle AEJ) &=\frac12\sqrt{c^2\frac{T+4c^2}{9}-\left(\frac{2c^2}{3}\right)^2} =\frac{c\sqrt T}{6},\\ \operatorname{Area}(\triangle AJK) &=\frac12\sqrt{\frac{(T+4c^2)(4T+c^2)-4(T+c^2)^2}{81}} =\frac{c\sqrt T}{6},\\ \operatorname{Area}(\triangle ACK) &=\frac12\sqrt{T\frac{4T+c^2}{9}-\left(\frac{2T}{3}\right)^2} =\frac{c\sqrt T}{6}. \end{aligned}$$ ここで $(T+4c^2)(4T+c^2)-4(T+c^2)^2=9Tc^2$ を用いた。また、$c=AE$、$\sqrt T=AC$ である。よって $$\displaystyle \operatorname{Area}(\triangle AEJ)=\operatorname{Area}(\triangle AJK)=\operatorname{Area}(\triangle ACK)=\frac{AE\cdot AC}{6}.$$