3山形大学 2020年 数学 第3問解答・解説

$\mathbf u=\overrightarrow{PA},\mathbf v=\overrightarrow{PB},\mathbf w=\overrightarrow{PC}$ とおき、$q=\mathbf v\cdot\mathbf w$ とする。条件より $\mathbf u=-\mathbf v-2\mathbf w$、$|\mathbf v|=|\mathbf w|=1$。

(1) $k^2=|\mathbf u|^2=|-\mathbf v-2\mathbf w|^2=1+4+4q=5+4q$。

(2) $\overrightarrow{BC}=\mathbf w-\mathbf v$ なので、$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-\mathbf v-2\mathbf w)\cdot(\mathbf w-\mathbf v)=q-1=(k^2-9)/4$。

(3) $\overrightarrow{PD}=t\mathbf u$ とおき、$D$ は線分 $BC$ 上にあるので $\overrightarrow{PD}=(1-s)\mathbf v+s\mathbf w$（$0\le s\le1$）とも表す。係数比較から $-t=1-s,-2t=s$ となり、$t=-1/3,s=2/3$。よって $\displaystyle \overrightarrow{PD}=\frac13\mathbf v+\frac23\mathbf w$。

(4) $\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AC}$ とおく。$\overrightarrow{AB}=2(\mathbf v+\mathbf w)$、$\overrightarrow{AC}=\mathbf v+3\mathbf w$。$EA=EB$ から $2\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|^2$ が成り立つ。また $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|^2=8(1+q)$。三角形は非退化なので $1+q\ne0$、したがって $t=1/2$。よって $\overrightarrow{PE}=(\mathbf u+\mathbf w)/2=-(\mathbf v+\mathbf w)/2$。

(5) $|\overrightarrow{AB}|^2=8(1+q)$、$|\overrightarrow{AC}|^2=10+6q$、$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=8(1+q)$。三角形の面積を $K$ とすると、$\displaystyle K=\frac12|AB||AC|\sin\angle BAC$ より $\displaystyle K^2=\frac14\bigl(|AB|^2|AC|^2-(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})^2\bigr)=4(1-q^2)$。$q=(k^2-5)/4$ を代入して $\displaystyle K=\frac12\sqrt{(9-k^2)(k^2-1)}$。