4山形大学 2020年 数学 第4問解答・解説

(1) 等差数列の公差を $d$ とすると $4d=a_7-a_3=13-5=8$ より $d=2$。したがって $a_1=5-2d=1$、 $$\displaystyle a_n=2n-1,\qquad S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=n^2.$$

(2) 漸化式を初項から足し合わせると $$\displaystyle b_n=19-\sum\limits _{j=1}^{n-1}2^{j-1}=19-(2^{n-1}-1)=20-2^{n-1}.$$ 従って $$\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^{n}(20-2^{k-1})=20n-(2^n-1)=20n-2^n+1.$$

(3) $a_kb_k=(2k-1)(20-2^{k-1})$ より $$\displaystyle U_n=20\sum\limits _{k=1}^{n}(2k-1)-\sum\limits _{k=1}^{n}(2k-1)2^{k-1}.$$ ここで $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n(2k-1)=n^2$。また $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n(2k-1)2^{k-1}=2\sum\limits _{k=1}^n k2^{k-1}-\sum\limits _{k=1}^n2^{k-1}=(2n-3)2^n+3,$$ だから $$U_n=20n^2-(2n-3)2^n-3.$$

(4) $a_k=2k-1>0$、$b_k=20-2^{k-1}$ は $k\le5$ で正、$k\ge6$ で負である。従って $1\le n\le5$ では $V_n=U_n$。$n\ge6$ では、最初の5項の和は $U_5=273$、以後の項は負なので $$V_n=U_5-(U_n-U_5)=546-U_n=(2n-3)2^n-20n^2+549.$$ ゆえに $$V_n=\begin{cases}20n^2-(2n-3)2^n-3 &(1\le n\le5),\\(2n-3)2^n-20n^2+549 &(n\ge6).\end{cases}$$