秋田大学 2021年数学第4問解答・解説

数列指数関数・対数関数

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1問題

秋田大学2021年度第4問

初項5, 公比3の等比数列 $\{a_{n}\}$ に対し, 次の問いに答えなさい。ただし, $\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771$ とする。

(i) 数列 $\{b_{n}\}$ を, $b_{1}=2$ , $b_{n+1}-b_{n}=a_{n}$ ( $n=1,2,3,\cdots$ ) により定める。数列 $\{b_{n}\}$ の一般項を求めなさい。

(ii) $10^{2} < a_{n} < 10^{6}$ を満たす，すべての自然数 n を求めなさい。

(iii) 数列 $\{a_{n}\}$ の初項から第 n 項までの和を $S_{n}$ とする。 $S_{n}>10^{5}$ を満たす，最小の自然数 n を求めなさい。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

等比数列の一般項と和を使い、差分列の総和および対数・べきの境界比較に帰着する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i) $\displaystyle \quad b_n=\frac{5\cdot3^{n-1}-1}{2}.\qquad$ (ii) $\quad n=4,5,\ldots,12.\qquad$ (iii) $\quad n=10.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$a_n=5\cdot3^{n-1}$ である。(i) より $\displaystyle b_n=b_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}a_k=2+5\frac{3^{n-1}-1}{3-1}=\frac{5\cdot3^{n-1}-1}{2}.$

(ii) の不等式を常用対数で表すと $2<\log_{10}a_n=\log_{10}5+(n-1)\log_{10}3<6.$ $\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990$ だから $1.3010<(n-1)0.4771<5.3010,$ 従って $2.726<n-1<11.112$ となる。よって自然数 $n-1$ は $3,4,\ldots,11$ であり $(ii)\quad n=4,5,\ldots,12.$ （境界の確認として $3^2<20<3^3$ 、 $3^{11}<200000<3^{12}$ でも同じ範囲を得る。）

(iii) は等比数列の和より $\displaystyle S_n=5\frac{3^n-1}{3-1}=\frac52(3^n-1).$ したがって $S_n>10^5$ は $3^n>40001$ と同値。 $3^9=19683<40001<59049=3^{10}$ より、これを満たす最小の自然数は $(iii)\quad n=10.$

この問題で使う考え方

等比数列の一般項と和
漸化式
総和記号と数列の和
常用対数
対数とその性質

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