6秋田大学 2021年 数学 第6問解答・解説

・ 条件を2乗して加えると $$|\alpha+\beta|^2+|\alpha-\beta|^2 =2(|\alpha|^2+|\beta|^2)=2$$ となるので、$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ である。また $$(|\alpha|-|\beta|)^2\ge0$$ より $$\displaystyle |\alpha\beta|=|\alpha||\beta| \le\frac{|\alpha|^2+|\beta|^2}{2}=\frac12.$$ ここで $\displaystyle \alpha=\dfrac1{\sqrt2}$、$\displaystyle \beta=\dfrac{i}{\sqrt2}$ とすると、 $|\alpha+\beta|=|\alpha-\beta|=1$ かつ $\displaystyle |\alpha\beta|=\dfrac12$ である。 よって最大値は $\displaystyle \boxed{\dfrac12}$。

・ $\alpha\beta=1$ だから $\alpha\ne0$ とおける。$\alpha=re^{i\theta}$（$r>0$）とすると、 $$\displaystyle \beta=\frac1\alpha=\frac1r e^{-i\theta}.$$ したがって $OP=r$、$OQ=1/r$ であり、$OP$ と $OQ$ のなす角は $\theta-(-\theta)=2\theta$ である。条件 $\displaystyle 0<\theta<\dfrac\pi2$ から $0<2\theta<\pi$ なので、三角形の面積は $$\displaystyle [OPQ]=\frac12\,OP\cdot OQ\sin2\theta =\frac12\,r\cdot\frac1r\sin2\theta =\frac12\sin2\theta.$$ これが $\displaystyle \dfrac{\sqrt3}{4}$ であるから $\displaystyle \sin2\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$。 $0<2\theta<\pi$ の範囲で $\displaystyle 2\theta=\dfrac\pi3,\dfrac{2\pi}3$ となり、 $$\displaystyle \boxed{\theta=\frac\pi6,\frac\pi3}.$$

・ $$\displaystyle \frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=e^{i\pi/3},\qquad \frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt2}i=e^{-i\pi/4},\qquad \frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}i=e^{i\pi/4}$$ と表せる。ド・モアブルの定理より、求める条件は $$\displaystyle \frac{m\pi}{3}-\frac{n\pi}{4} =\frac\pi4+2k\pi\quad(k\text{ は整数}),$$ すなわち $$4m-3n=3+24k$$ である。$1\le m,n\le10$ より $-26\le4m-3n\le37$ だから、左辺が取り得るこの形の値は $-21,3,27$ である。 また $4m-3n$ は3の倍数なので $m$ も3の倍数であり、$m=3,6,9$ に限られる。 各候補について $n=(4m-(4m-3n))/3$ を調べると、 $$\begin{array}{c|ccc|c} 4m-3n&m=3&m=6&m=9&1\le n\le10\text{ の場合}\\ \hline -21&11&15&19&\text{なし}\\ 3&3&7&11&(3,3),(6,7)\\ 27&-5&-1&3&(9,3) \end{array}$$ となる。したがって $$\boxed{(m,n)=(3,3),(6,7),(9,3)}.$$