6京都大学 2018年 数学 第6問解答・解説

$P$を原点とし、$\overrightarrow{AB}=\mathbf u$、$\overrightarrow{CD}=\mathbf v$、$\overrightarrow{PQ}=\mathbf q$ とおく。中点の条件から $$\displaystyle A=-\frac{\mathbf u}{2},\quad B=\frac{\mathbf u}{2},\quad C=\mathbf q-\frac{\mathbf v}{2},\quad D=\mathbf q+\frac{\mathbf v}{2}.$$

(1) まず $$\displaystyle \overrightarrow{AC}=\mathbf q+\frac{\mathbf u-\mathbf v}{2},\qquad \overrightarrow{BD}=\mathbf q-\frac{\mathbf u-\mathbf v}{2}.$$ 長さが等しいので、両辺を二乗して引き算すると $\mathbf q\cdot(\mathbf u-\mathbf v)=0$ を得る。同様に $$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\mathbf q+\frac{\mathbf u+\mathbf v}{2},\qquad \overrightarrow{BC}=\mathbf q-\frac{\mathbf u+\mathbf v}{2}$$ と $AD=BC$ から $\mathbf q\cdot(\mathbf u+\mathbf v)=0$。二式を足し引きして $$\mathbf q\cdot\mathbf u=0,\qquad \mathbf q\cdot\mathbf v=0.$$ 四面体は平面に潰れていないので $\mathbf q\ne\mathbf0$。よって $AB\perp PQ$。

(2) $AB$ と $CD$ の向きはどちらも $PQ$ に垂直である。直線PQを軸に180度回転すると、AとB、CとDがそれぞれ入れ替わり、四面体ABCDは自身に重なる。平面 $\alpha$ は回転軸PQを含むため、この回転で保たれるが、平面の一方側にある点は反対側へ移る。したがって回転は切り分けた二つの部分を互いに移し、体積を保つので二部分の体積は等しい。

答え

(1) AB⊥PQ。 (2) PQを含む任意の平面αで四面体を切った二部分の体積は等しい。